数学中,特别是泛函分析中,作用于希尔伯特空间XY之间的紧算子奇异值是自伴算子表示T伴随)的非负特征值的平方根。

奇异值是非负实数,一般按递减顺序排列()。最大的奇异值等于T算子范数(见极小-极大定理)。

2维实值错切矩阵M奇异值分解可视化。首先,可见蓝色的单位圆盘与2个标准基向量;然后,可见M的作用:将圆盘扭曲为椭圆。SVD将M分解为3个简单变换:旋转、沿旋转轴的缩放Σ及第二次旋转 U。Σ是对角矩阵(本例中是方阵),对角线上包含M的奇异值,代表椭圆半轴长度

作用于欧氏空间T的奇异值有简单的几何解释:单位n球在T变换下的像是椭球,其半轴长度是T的奇异值(图中提供了的例子)。

奇异值是正规矩阵A特征值绝对值,由谱定理可得A的单位对角化:。因此有

研究的希尔伯特空间算子的大多数范数都是用奇异值定义的。例如,樊𰋀-k-范数是前k个奇异值的和,迹范数是所有奇异值的和,沙滕范数是奇异值的p次幂之和的p次根。注意每种范数都只定义在一类特殊的算子上,因此奇异值有助于算子的分类。

有限维情形,矩阵总可以分解为,其中酉矩阵是矩形对角矩阵,奇异值在对角线上。这就是奇异值分解

基本性质

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应用特征值的最小-最大定理。这里  i维子空间。

 

矩阵转置和共轭不会改变奇异值。

 

对任意酉矩阵 

 

与特征值的关系:

 

的关系:

 .

 满秩,则奇异值的积是 

 满秩,则奇异值的积是 

A满秩,则奇异值的积是 

关于奇异值的不等式

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另见[1]

子矩阵的奇异值

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  1. B表示删除了某一行或某一列的A。则 
  2. B表示删除了某一行和某一列的A。则 
  3. B表示A 子矩阵,则 

A + B的奇异值

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  1.  
  2.  

AB的奇异值

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  1.  
  2.  

 [2]  

奇异值与特征值

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 .

  1. [3]  
  2. 假设 ,则对 
    1. 外尔定理 
    2.   

历史

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奇异值这一概念由埃哈德·施密特(1907)提出,当时称奇异值为“特征值”。“奇异值”的名称由史密斯于1937年首次使用。1957年,Allahverdiev证明了第n个奇异值的如下特征:[4]

 

这种表述使奇异值概念可以推广到巴拿赫空间的算子。 注意还有更一般的s-数(s-number)概念,也包括盖尔范德和柯尔莫哥洛夫宽。

另见

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参考文献

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  1. ^ R. A. Horn and C. R. Johnson. Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1991. Chap. 3
  2. ^ X. Zhan. Matrix Inequalities. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2002. p.28
  3. ^ R. Bhatia. Matrix Analysis. Springer-Verlag, New York, 1997. Prop. III.5.1
  4. ^ I. C. Gohberg and M. G. Krein. Introduction to the Theory of Linear Non-selfadjoint Operators. American Mathematical Society, Providence, R.I.,1969. Translated from the Russian by A. Feinstein. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 18.