对角矩阵

对角矩阵（英语：diagonal matrix）是一类除主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值。因此若n阶方块矩阵$\mathbf {D}$ = (d_i,j)符合以下性质：

$d_{i,j}=0{\mbox{ if }}i\neq j\qquad \forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\}$

则矩阵$\mathbf {D}$为对角矩阵。

例子

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}}$

均为对角矩阵

矩阵运算

加法

${\begin{bmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{1}&&&\\&b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&b_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1}&&&\\&a_{2}+b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}+b_{n}\end{bmatrix}}$

乘法

${\begin{bmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&&&\\&b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&b_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&&&\\&a_{2}b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}b_{n}\end{bmatrix}}$

逆矩阵

${\begin{bmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}a_{1}^{-1}&&&\\&a_{2}^{-1}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}^{-1}\end{bmatrix}}$ 当且仅当 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$ 均不为零。

性质

• 单位矩阵 $\mathbf {I} _{n}$ 及零矩阵恒为对角矩阵。
• 对角矩阵是对称矩阵、上三角矩阵及下三角矩阵。
• (定义)若对角矩阵主对角线上的元素都相等，则又称其为数量矩阵。(性质)数量矩阵可表示为单位矩阵及一个系数 $\lambda$ 的乘积 $\lambda \mathbf {I} _{n}$；单位矩阵和零矩阵可以被视作为特殊的数量矩阵。
• 对角矩阵 ${\text{diag}}\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)$ 的特征值为 $a_{1},\dots ,a_{n}$，其特征向量为单位向量 $\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}$。
• 对角矩阵 ${\text{diag}}\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)$ 的行列式为其特征值的乘积，即 $\prod _{i=1}^{n}a_{i}$。

方阵与对角矩阵相似的充分必要条件

$n$阶方阵可进行对角化的充分必要条件是：

• $n$阶方阵存在$n$个线性无关的特征向量
  • 推论：如果这个$n$阶方阵有$n$阶个不同的特征值，那么矩阵必然存在相似矩阵
• 如果$n$阶方阵存在重复的特征值，每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重复次数

参考

• 三角矩阵
• 对角优势矩阵