定比分点公式

定比分点公式是平面几何学的基本公式。若D点在B点与C点之间，向量AD即可表达成向量AB与向量AC。

${\overrightarrow {AD}}={\frac {|{\overrightarrow {CD}}|}{|{\overrightarrow {BC}}|}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {|{\overrightarrow {BD}}|}{|{\overrightarrow {BC}}|}}{\overrightarrow {AC}}$

当A位于原点，即AD、AB、AC为位置向量，利用公式可由B点、C点得出D点的坐标。

证明

${\overrightarrow {BD}}={\frac {|{\overrightarrow {BD}}|}{|{\overrightarrow {BC}}|}}{\overrightarrow {BC}}={\frac {|{\overrightarrow {BD}}|}{|{\overrightarrow {BC}}|}}({\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}})$

${\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BD}}={\frac {|{\overrightarrow {CD}}|}{|{\overrightarrow {BC}}|}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {|{\overrightarrow {BD}}|}{|{\overrightarrow {BC}}|}}{\overrightarrow {AC}}$

定比分点参数法

设${\overrightarrow {BD}}=\lambda {\overrightarrow {DC}}$，则${\overrightarrow {AD}}={\frac {{\overrightarrow {AB}}+\lambda {\overrightarrow {AC}}}{1+\lambda }}$

向量回路法

考虑向量AO、AB、AE，有${\overrightarrow {AO}}={\frac {|{\overrightarrow {OE}}|}{|{\overrightarrow {BE}}|}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {|{\overrightarrow {OB}}|}{|{\overrightarrow {BE}}|}}{\overrightarrow {AE}}$

${\frac {|{\overrightarrow {AO}}|}{|{\overrightarrow {AD}}|}}{\overrightarrow {AD}}={\frac {|{\overrightarrow {OE}}|}{|{\overrightarrow {BE}}|}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {|{\overrightarrow {OB}}|}{|{\overrightarrow {BE}}|}}\cdot {\frac {|{\overrightarrow {AE}}|}{|{\overrightarrow {AC}}|}}{\overrightarrow {AC}}$

考虑向量AD、AB、AC，又有${\overrightarrow {AD}}={\frac {|{\overrightarrow {CD}}|}{|{\overrightarrow {BC}}|}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {|{\overrightarrow {BD}}|}{|{\overrightarrow {BC}}|}}{\overrightarrow {AC}}$

${\frac {|{\overrightarrow {AO}}|}{|{\overrightarrow {AD}}|}}\cdot {\frac {|{\overrightarrow {CD}}|}{|{\overrightarrow {BC}}|}}={\frac {|{\overrightarrow {OE}}|}{|{\overrightarrow {BE}}|}}$

${\frac {|{\overrightarrow {AO}}|}{|{\overrightarrow {AD}}|}}\cdot {\frac {|{\overrightarrow {BD}}|}{|{\overrightarrow {BC}}|}}={\frac {|{\overrightarrow {OB}}|}{|{\overrightarrow {BE}}|}}\cdot {\frac {|{\overrightarrow {AE}}|}{|{\overrightarrow {AC}}|}}$

${\frac {|{\overrightarrow {AO}}|}{|{\overrightarrow {AD}}|}}={\frac {|{\overrightarrow {OE}}|}{|{\overrightarrow {BE}}|}}+{\frac {|{\overrightarrow {OB}}|}{|{\overrightarrow {BE}}|}}\cdot {\frac {|{\overrightarrow {AE}}|}{|{\overrightarrow {AC}}|}}$