定比分點公式

定比分點公式是平面幾何學的基本公式。若D點在B點與C點之間，向量AD即可表達成向量AB與向量AC。

${\overrightarrow {AD}}={\frac {|{\overrightarrow {CD}}|}{|{\overrightarrow {BC}}|}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {|{\overrightarrow {BD}}|}{|{\overrightarrow {BC}}|}}{\overrightarrow {AC}}$

當A位於原點，即AD、AB、AC為位置向量，利用公式可由B點、C點得出D點的坐標。

證明

${\overrightarrow {BD}}={\frac {|{\overrightarrow {BD}}|}{|{\overrightarrow {BC}}|}}{\overrightarrow {BC}}={\frac {|{\overrightarrow {BD}}|}{|{\overrightarrow {BC}}|}}({\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}})$

${\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BD}}={\frac {|{\overrightarrow {CD}}|}{|{\overrightarrow {BC}}|}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {|{\overrightarrow {BD}}|}{|{\overrightarrow {BC}}|}}{\overrightarrow {AC}}$

定比分點參數法

設${\overrightarrow {BD}}=\lambda {\overrightarrow {DC}}$，則${\overrightarrow {AD}}={\frac {{\overrightarrow {AB}}+\lambda {\overrightarrow {AC}}}{1+\lambda }}$

向量迴路法

考慮向量AO、AB、AE，有${\overrightarrow {AO}}={\frac {|{\overrightarrow {OE}}|}{|{\overrightarrow {BE}}|}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {|{\overrightarrow {OB}}|}{|{\overrightarrow {BE}}|}}{\overrightarrow {AE}}$

${\frac {|{\overrightarrow {AO}}|}{|{\overrightarrow {AD}}|}}{\overrightarrow {AD}}={\frac {|{\overrightarrow {OE}}|}{|{\overrightarrow {BE}}|}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {|{\overrightarrow {OB}}|}{|{\overrightarrow {BE}}|}}\cdot {\frac {|{\overrightarrow {AE}}|}{|{\overrightarrow {AC}}|}}{\overrightarrow {AC}}$

考慮向量AD、AB、AC，又有${\overrightarrow {AD}}={\frac {|{\overrightarrow {CD}}|}{|{\overrightarrow {BC}}|}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {|{\overrightarrow {BD}}|}{|{\overrightarrow {BC}}|}}{\overrightarrow {AC}}$

${\frac {|{\overrightarrow {AO}}|}{|{\overrightarrow {AD}}|}}\cdot {\frac {|{\overrightarrow {CD}}|}{|{\overrightarrow {BC}}|}}={\frac {|{\overrightarrow {OE}}|}{|{\overrightarrow {BE}}|}}$

${\frac {|{\overrightarrow {AO}}|}{|{\overrightarrow {AD}}|}}\cdot {\frac {|{\overrightarrow {BD}}|}{|{\overrightarrow {BC}}|}}={\frac {|{\overrightarrow {OB}}|}{|{\overrightarrow {BE}}|}}\cdot {\frac {|{\overrightarrow {AE}}|}{|{\overrightarrow {AC}}|}}$

${\frac {|{\overrightarrow {AO}}|}{|{\overrightarrow {AD}}|}}={\frac {|{\overrightarrow {OE}}|}{|{\overrightarrow {BE}}|}}+{\frac {|{\overrightarrow {OB}}|}{|{\overrightarrow {BE}}|}}\cdot {\frac {|{\overrightarrow {AE}}|}{|{\overrightarrow {AC}}|}}$