岩泽理论

数论中，岩泽理论（英语：Iwasawa theory）是理想类群的伽罗瓦模理论，由日本数学家岩泽健吉于1950年代提出，是割圆域理论的一部分。1970年代初，贝利·马祖尔（英语：Barry Mazur）考虑了岩泽理论在阿贝尔簇上的推广。到1990年代初，拉尔夫·格林伯格将岩泽理论应用到动形理论（法文：motifs、英文：motives）。

陈述

岩泽健吉起初观察到代数数论中某些数域所成的塔的伽罗瓦群同构于p进数所构成的加法群。这个群通常写作 Γ 并采乘法符号，它是加法群 $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ 的逆极限，其中p是固定的素数而 $n=1,2,\dots$ 。我们可以用庞特里亚金对偶定理得到另一种表法：Γ 对偶于所有复数域里的 $p$ -次单位根所成的离散群。

例子

设 $\zeta$ 为 $p$ 次本原根，并考虑下述数域所成的塔：

$K=\mathbb {Q} (\zeta )\subset K_{1}\subset K_{2}\subset \cdots \subset \mathbb {C} ,$

其中 $K_{n}$ 是 $p^{n+1}$ 次本原根生成的数域。这个塔的联集称作 $L$ 。由于 $\mathrm {Gal} (K_{n}/K)=\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ ， $\mathrm {Gal} (L/K)$ 同构于 Γ 。为了得到一个有趣的伽罗瓦模，岩泽健吉取 $K_{n}$ 的理想类群，并令 $I_{n}$ 为其 $p$ -挠部分。对于 $m>n$ ，有范数映射 $I_{m}\rightarrow I_{n}$ ，于是得到一个逆系。令 $I$ 为其逆极限， Γ 作用其上，我们欲描述这个作用。

毫无疑问，这里的动机在于 $K$ 的理想类群的 $p$ -挠部分已被恩斯特·库默尔认出是他证明费马大定理的主要障碍。岩泽健吉的创见在于他在一个新的意义上“跑到无穷大”。事实上， $I$ 是群环的完备化 $\mathbb {Z} _{p}[[\Gamma ]]$ 上的模；这个环性质很好（它是一个二维正则局部环），这意味着我们可以对其上的模作够精细的分类。

历史

自岩泽理论在1950年面世起，已经有了一套丰富的理论。人们注意到在模论与黎贝和Heinrich-Wolfgang Leopoldt在1960年定义的p进数L-函数间有根本的联系。后者从 $\zeta$ 函数在负整数点的取值（与伯努利数有关）作插值，得到狄利克雷L函数在p进数域的类比。显然此理论有希望从库默尔一个世纪创建前的正则素数理论向前迈进。

“岩泽理论主猜想”被陈述为：以两种不同方法定义的 p进数L-函数（模理论／插值法）应当相等，只要它们是明确定义的。这个猜想在 $\mathbb {Q}$ 上的情形最后由贝利·马祖尔（英语：Barry Mazur）与安德鲁·怀尔斯证明，并由怀尔斯证明所有实域的情形，称作马祖尔-怀尔斯定理。他们仿造肯尼斯·阿兰·黎贝证明埃尔布朗定理之逆定理（即所谓埃尔布朗-黎贝定理）的办法。

近来 Chris Skinner 与 Eric Urban 也仿用肯尼斯·阿兰·黎贝的办法，公布了GL(2) 的“主猜想”的一个证明。借由 Kolyvagin 发展的欧拉系统，可以得到马祖尔-怀尔斯定理更初等的证明（请参见 Washington 的书）。Karl Rubin 等人用欧拉系统得到主猜想其它的推广形式。

文献

Greenberg, Ralph, Iwasawa Theory - Past & Present, Advanced Studies in Pure Math. 30 (2001), 335-385. 可下载 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
Coates, J. and Sujatha, R., Cyclotomic Fields and Zeta Values, Springer-Verlag, 2006
Lang, S., Cyclotomic Fields, Springer-Verlag, 1978
Washington, L., Introduction to Cyclotomic Fields, 2nd edition, Springer-Verlag, 1997
Barry Mazur and Andrew Wiles. Class Fields of Abelian Extensions of Q. Inventiones Mathematicae. 1984, 76 (2): 179–330.
Andrew Wiles. The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields. Annals of Mathematics. 1990, 131 (3): 493–540.
Chris Skinner and Eric Urban. Sur les deformations p-adiques des formes de Saito-Kurokawa. C. R. Math. Acad. Sci. Paris. 2002, 335 (7): 581–586.