平行四边形

兩組對邊分別平行的四邊形

几何学中,两组对边分别平行四边形称为平行四边形(英语:parallelogram)。平行四边形一般用图形名称加依次四个顶点名称来表示,如图平行四边形记为▱ABCD。平行四边形的两对角线互相平分“但不一定互相垂直,也不一定相等”。(对角线互相垂直的平行四边形是菱形,对角线相等的平行四边形是矩形

平行四边形
平行四边形
类型四边形
对偶平行四边形(本身)
4
顶点4
对称群D1 (*)
面积见下文

长方形正方形菱形都是平行四边形。

性质

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  1. 两组对边平行且分别相等;
  2. 两组对角大小相等;
  3. 相邻的两个角互补
  4. 对角线互相平分,且将平行四边形面积分为四等分
  5. 对于平面上任意一点,都存在一条能将任意平行四边形平分为两个面积相等图形、并穿过该点的线;
  6. 四边边长的平方和等于两条对角线的平方和。

分类

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矩形菱形正方形是特殊的平行四边形。

判定

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  1. 两组对边分别相等的平面四边形是平行四边形;
  2. 两组对角分别相等的平面四边形是平行四边形;
  3. 一角分别与两邻角互补的四边形是平行四边形;
  4. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
  5. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
  6. 对角线相交且互相平分的四边形是平行四边形。

面积

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图中蓝色区域为平行四边形的面积

公式一:

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 (参照右图)

公式二:

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 (参照右图,其中   为两条邻边长度, 

公式三:

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 (其中   为对角线夹角,  为两条邻边长度)[1]

公式四:

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 (其中   为对角线夹角,  为两条对角线长度)

参见

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参考文献

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  1. ^ Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral", Mathematical Gazette, July 2009.