线性化

关于并行运算中的类似概念，请见“线性一致性”。

数学上的线性化（linearization）是找函数在特定点的线性近似，也就是函数在该点的一阶泰勒级数。在动力系统研究中，线性化是分析非线性微分方程系统或是非线性离散系统，在特定平衡点局部稳定性的一种方法。 此方法常应用在工程学、物理学、经济学及生态学的应用中。

函数的线性化

函数的线性化为线性函数。针对函数$y=f(x)$，若要用在任意点$x=a$下的值及其图形斜率来进行近似时，假设$f(x)$在$[a,b]$（或$[b,a]$）区间内可微，且b邻近a，线性化是可以有效近似的方法。简单来说，线性化就是在$x=a$点附近，以直线来近似函数的值。例如${\sqrt {4}}=2$，那么针对${\sqrt {4.001}}={\sqrt {4+.001}}$，利用线性化就可能可以找到理想的近似公式。

针对任意函数$y=f(x)$，$f(x)$在已知可微分点附近的位置，都可以被近似。最基本的要求是$L_{a}(a)=f(a)$，其中$L_{a}(x)$是$f(x)$在$x=a$的线性化。一次方程的图形会形成直线，例如通过点 $(H,K)$，斜率为$M$为直线。方程式的一般形为$y-K=M(x-H)$。

若是配合点$(a,f(a))$，$L_{a}(x)$即变成$y=f(a)+M(x-a)$。因为可微分函数是局部线性，该点的斜率可以用$f(x)$在点$x=a$切线的斜率来代替。

函数局部线性的意思也表示函数图形上的点可以任意接近点$x=a$，相对来说比较接近的点，其线性近似的效果也会比较好。斜率$M$最准确的值会是在$x=a$点的切线斜率。

f(x)=x^2在(x, f(x))的近似值

旁边的图可以说明$f(x)$在点$x$的切线。在$f(x+h)$位置，其中$h$是小的正值或是负值，$f(x+h)$非常接近$(x+h,L(x+h))$点的切线。

函数在点$x=a$线性化的最终方程为：

$y=(f(a)+f'(a)(x-a))$

针对$x=a$，$f(a)=f(x)$。函数$f(x)$的导数为$f'(x)$，而函数$f(x)$在点$a$的斜率为$f'(a)$。

例子

若要找${\sqrt {4.001}}$，可以用${\sqrt {4}}=2$的资讯。函数$f(x)={\sqrt {x}}$在点$x=a$的线性化为$y={\sqrt {a}}+{\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}(x-a)$，因为函数$f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$定义了函数$f(x)={\sqrt {x}}$在点$x$的斜率。

代入$a=4$，其线性化结果为$y=2+{\frac {x-4}{4}}$。

针对$x=4.001$的例子，可得${\sqrt {4.001}}$近似$2+{\frac {4.001-4}{4}}=2.00025$。其实际值为2.00024998，非常接近，此线性化的误差小于1%的百万分之一。

多变数函数的线性化

函数$f(x,y)$在点$p(a,b)$线性化的方程式为：

$f(x,y)\approx f(a,b)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\right|_{a,b}(x-a)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right|_{a,b}(y-b)$

多变数函数$f(\mathbf {x} )$在点$\mathbf {p}$线性化的通式为

$f({\mathbf {x} })\approx f({\mathbf {p} })+\left.{\nabla f}\right|_{\mathbf {p} }\cdot ({\mathbf {x} }-{\mathbf {p} })$

其中$\mathbf {x}$是变数向量，而$\mathbf {p}$是要线性化的点。

线性化的应用

配合线性化的技术，可以用研究线性系统的工具来分析非线性系统在特定点附近的行为。函数在特定点附近的线性化是在该点附近泰勒级数的一阶展开。针对以下的系统

${\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)$,

其线性化系统为

${\frac {d\mathbf {x} }{dt}}\approx \mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)+D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )$

其中$\mathbf {x_{0}}$是要观测的特定点，而$D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} )$是$\mathbf {F} (\mathbf {x} )$在点$\mathbf {x_{0}}$所计算的雅可比矩阵。

稳定性分析

在自治系统的稳定性分析中，可以用在双曲平衡点计算雅可比矩阵的特征值来判断平衡点的特征。这就是线性化理论的内容。若是时变系统，其线性化需要考量其他的因素。

微观经济学

在微观经济学中，决策规则可以用状态空间下线性化的作法来近似。若以此方式分析，效用最大化的欧拉方程可以在平稳稳态附近进行线性化。所得动态方程的系统的唯一解即为其解。

最佳化

在最优化中，成本函数以及非线性成分都可以线性化，以使用一些线性的求解方式（例如单纯形法）。最佳化的结果可以更有效率的产生，而且是决定性的全域极值。

多物理场

在多物理场系统（系统中有多个不同物理领域的模型，彼此互相影响）中，可以针对每一个物理领域进行线性化。针对每一个物理领域的线性化可以产生线性的monolithic方程系统，可以用monolithic的迭代来求解（例如牛顿法）。这类的例子包括MRI scanner系统，包括了电磁系统、力学系统及声学系统

相关条目

• 线性稳定性
• 切线刚性矩阵
• 稳定性导数
• 泰勒公式
• 泛函方程 (L函数)

外部链接

• Linearization for Model Analysis and Control Design （页面存档备份，存于互联网档案馆）