線性化

關於並行運算中的類似概念，請見「線性一致性」。

數學上的線性化（linearization）是找函數在特定點的線性近似，也就是函數在該點的一階泰勒級數。在動力系統研究中，線性化是分析非線性微分方程系統或是非線性離散系統，在特定平衡點局部穩定性的一種方法。 此方法常應用在工程學、物理學、經濟學及生態學的應用中。

函數的線性化

函數的線性化為線性函數。針對函數$y=f(x)$，若要用在任意點$x=a$下的值及其圖形斜率來進行近似時，假設$f(x)$在$[a,b]$（或$[b,a]$）區間內可微，且b鄰近a，線性化是可以有效近似的方法。簡單來說，線性化就是在$x=a$點附近，以直線來近似函數的值。例如${\sqrt {4}}=2$，那麼針對${\sqrt {4.001}}={\sqrt {4+.001}}$，利用線性化就可能可以找到理想的近似公式。

針對任意函數$y=f(x)$，$f(x)$在已知可微分點附近的位置，都可以被近似。最基本的要求是$L_{a}(a)=f(a)$，其中$L_{a}(x)$是$f(x)$在$x=a$的線性化。一次方程的圖形會形成直線，例如通過點 $(H,K)$，斜率為$M$為直線。方程式的一般形為$y-K=M(x-H)$。

若是配合點$(a,f(a))$，$L_{a}(x)$即變成$y=f(a)+M(x-a)$。因為可微分函數是局部線性，該點的斜率可以用$f(x)$在點$x=a$切線的斜率來代替。

函數局部線性的意思也表示函數圖形上的點可以任意接近點$x=a$，相對來說比較接近的點，其線性近似的效果也會比較好。斜率$M$最準確的值會是在$x=a$點的切線斜率。

f(x)=x^2在(x, f(x))的近似值

旁邊的圖可以說明$f(x)$在點$x$的切線。在$f(x+h)$位置，其中$h$是小的正值或是負值，$f(x+h)$非常接近$(x+h,L(x+h))$點的切線。

函數在點$x=a$線性化的最終方程為：

$y=(f(a)+f'(a)(x-a))$

針對$x=a$，$f(a)=f(x)$。函數$f(x)$的導數為$f'(x)$，而函數$f(x)$在點$a$的斜率為$f'(a)$。

例子

若要找${\sqrt {4.001}}$，可以用${\sqrt {4}}=2$的資訊。函數$f(x)={\sqrt {x}}$在點$x=a$的線性化為$y={\sqrt {a}}+{\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}(x-a)$，因為函數$f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$定義了函數$f(x)={\sqrt {x}}$在點$x$的斜率。

代入$a=4$，其線性化結果為$y=2+{\frac {x-4}{4}}$。

針對$x=4.001$的例子，可得${\sqrt {4.001}}$近似$2+{\frac {4.001-4}{4}}=2.00025$。其實際值為2.00024998，非常接近，此線性化的誤差小於1%的百萬分之一。

多變數函數的線性化

函數$f(x,y)$在點$p(a,b)$線性化的方程式為：

$f(x,y)\approx f(a,b)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\right|_{a,b}(x-a)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right|_{a,b}(y-b)$

多變數函數$f(\mathbf {x} )$在點$\mathbf {p}$線性化的通式為

$f({\mathbf {x} })\approx f({\mathbf {p} })+\left.{\nabla f}\right|_{\mathbf {p} }\cdot ({\mathbf {x} }-{\mathbf {p} })$

其中$\mathbf {x}$是變數向量，而$\mathbf {p}$是要線性化的點。

線性化的應用

配合線性化的技術，可以用研究線性系統的工具來分析非線性系統在特定點附近的行為。函數在特定點附近的線性化是在該點附近泰勒級數的一階展開。針對以下的系統

${\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)$,

其線性化系統為

${\frac {d\mathbf {x} }{dt}}\approx \mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)+D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )$

其中$\mathbf {x_{0}}$是要觀測的特定點，而$D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} )$是$\mathbf {F} (\mathbf {x} )$在點$\mathbf {x_{0}}$所計算的雅可比矩陣。

穩定性分析

在自治系統的穩定性分析中，可以用在雙曲平衡點計算雅可比矩陣的特徵值來判斷平衡點的特徵。這就是線性化理論的內容。若是時變系統，其線性化需要考量其他的因素。

微觀經濟學

在微觀經濟學中，決策規則可以用狀態空間下線性化的作法來近似。若以此方式分析，效用最大化的歐拉方程可以在平穩穩態附近進行線性化。所得動態方程的系統的唯一解即為其解。

最佳化

在最優化中，成本函數以及非線性成份都可以線性化，以使用一些線性的求解方式（例如單純形法）。最佳化的結果可以更有效率的產生，而且是決定性的全域極值。

多物理場

在多物理場系統（系統中有多個不同物理領域的模型，彼此互相影響）中，可以針對每一個物理領域進行線性化。針對每一個物理領域的線性化可以產生線性的monolithic方程系統，可以用monolithic的迭代來求解（例如牛頓法）。這類的例子包括MRI scanner系統，包括了電磁系統、力學系統及聲學系統

相關條目

• 線性穩定性
• 切線剛性矩陣
• 穩定性導數
• 泰勒公式
• 泛函方程 (L函數)

外部連結

• Linearization for Model Analysis and Control Design （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）