雅可比猜想

雅可比猜想（Jacobian conjecture）是多变量多项式的一个著名问题，最初是由数学家凯勒（Ott-Heinrich Keller）于1939年提出，之后Shreeram Abhyankar取现名，并将之广为传播，以作为代数几何的问题中，只需稍多于微积分的知识就能阐述的一个例子。

雅可比猜想直至2017年仍未得到正确证明。

雅可比行列式

令n>1为固定的整数，考虑多项式F₁, ... , F_n，变量为X=(X₁, ... , X_n)，系数在特征为零的代数闭域k中。（可假设k为复数域$\mathbb {C}$。）也就是说$F_{1},\ldots ,F_{n}\in k[X]$。定义函数F: kⁿ→kⁿ为

F(c₁, ... , c_n)=(F₁(c₁, ... , c_n), ... , F_n(c₁, ... , c_n))

函数F的雅可比行列式J_F是由F的偏导数组成的n×n矩阵的行列式

$J_{F}=\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial F_{n}}{\partial X_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{n}}{\partial X_{n}}}\end{matrix}}\right|,$

J_F也是变量为X的多项式函数。

叙述

多变量微积分的反函数定理指出如在某一点有J_F ≠ 0，那么在该点附近F有反函数。由于k是代数闭域，J_F是多项式，因此J_F必定在某些点上为0，除非J_F是非零的常数函数。以下是一项基本结果：

若F有反函数G: kⁿ→kⁿ，则J_F是非零的常数函数。

而其反命题则为雅可比猜想：
令$k$为一特征为零的代数闭域。若

1. $F=(F_{1},\dots ,F_{n})\in k[X]\times k[X]\times \dots k[X]$,
2. J_F是非零常数函数，（等价于以下条件：对于所有的$x\in k^{n}$，$F'(x)$皆是可逆的线性变换）

则$F$有反函数，且此反函数亦属于$k[X]$。

外部链接

• （英文）莫宗坚简论雅可比猜想的网页 （页面存档备份，存于互联网档案馆）