马尔可夫不等式

在概率论中，马尔可夫不等式（英语：Markov's inequality）给出了随机变量的函数大于等于某正数的概率的上界。虽然它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，但该不等式曾出现在一些更早的文献中，其中包括马尔可夫的老师——切比雪夫。

马尔可夫不等式提供了$f(x)$超过某特定数值$\epsilon$（图中标示红色线处）概率的上界，其上界包括了特定数值$\epsilon$及$f$的平均值

马尔可夫不等式把概率关联到数学期望，给出了随机变量的累积分布函数一个宽泛但仍有用的界。

马尔可夫不等式的一个应用是，不超过1/5的人口会有超过5倍于人均收入的收入。

表达式

X为一非负随机变量，则

$\mathrm {P} (X\geq a)\leq {\frac {\mathrm {E} (X)}{a}}.$

若用测度领域的术语来表示，马尔可夫不等式可表示为若(X, Σ, μ)是一个测度空间，ƒ为可测的扩展实数的函数，且$\epsilon \geq 0$，则

$\mu (\{x\in X:|f(x)|\geq \varepsilon \})\leq {1 \over \varepsilon }\int _{X}|f|\,d\mu .$

有时上述的不等式会被称为切比雪夫不等式。

对于单调增加函数的扩展版本

若φ是定义在非负实数上的单调增加函数，且其值非负，X是一个随机变量，a ≥ 0，且φ(a) > 0，则

$\mathbb {P} (|X|\geq a)\leq {\frac {\mathbb {E} (\varphi (|X|))}{\varphi (a)}}$

证明

${\begin{aligned}{\textrm {E}}(X)&=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx\\&=\int _{0}^{\infty }xf(x)dx\\[6pt]&\geqslant \int _{a}^{\infty }xf(x)dx\\[6pt]&\geqslant \int _{a}^{\infty }af(x)dx\\[6pt]&=a\int _{a}^{\infty }f(x)dx\\[6pt]&=a{\textrm {P}}(X\geqslant a).\end{aligned}}$

用来推导切比雪夫不等式

切比雪夫不等式使用方差来作为一随机变量超过平均值概率的上限，可以用下式表示：

$\Pr(|X-{\textrm {E}}(X)|\geq a)\leq {\frac {{\textrm {Var}}(X)}{a^{2}}},$

对任意a>0，Var(X)为X的方差，定义如下：

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} (X))^{2}].$

若以马尔可夫不等式为基础，切比雪夫不等式可视为考虑以下随机变量

$(X-\operatorname {E} (X))^{2}$

根据马尔可夫不等式，可得到以下的结果

$\Pr((X-\operatorname {E} (X))^{2}\geq a^{2})\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}},$

矩阵形式的马尔可夫不等式

令$M\succeq 0$为自共轭矩阵形式的随机变量，且$a>0$，则

$\Pr(M\npreceq a\cdot I)\leq {\frac {\mathrm {tr} \left(E(M)\right)}{a}}.$

应用实例

• 马尔可夫不等式可用来证明切比雪夫不等式。
• 马尔可夫不等式可用来证明一个非负的随机变量，其平均值$\mu$和中位数$m$满足$m\leq 2\mu$的关系。

参见

• 切比雪夫不等式