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在概率論中,馬爾可夫不等式(英語:Markov's inequality)給出了隨機變量的函數大於等於某正數的概率的上界。雖然它以俄國數學家安德雷·馬爾可夫命名,但該不等式曾出現在一些更早的文獻中,其中包括馬爾可夫的老師——柴比雪夫。
馬爾可夫不等式提供了
超過某特定數值
(圖中標示紅色線處)概率的上界,其上界包括了特定數值
及
的平均值
馬爾可夫不等式把概率關聯到數學期望值,給出了隨機變量的累積分佈函數一個寬泛但仍有用的界。
馬爾可夫不等式的一個應用是,不超過1/5的人口會有超過5倍於人均收入的收入。
X為一非負隨機變量,則
- [1]
若用測度領域的術語來表示,馬爾可夫不等式可表示為若(X, Σ, μ)是一個測度空間,ƒ為可測的擴展實數的函數,且 ,則
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有時上述的不等式會被稱為柴比雪夫不等式[2]。
若φ是定義在非負實數上的單調遞增函數,且其值非負,X是一個隨機變量,a ≥ 0,且φ(a) > 0,則
-
-
柴比雪夫不等式使用方差來作為一隨機變量超過平均值概率的上限,可以用下式表示:
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對任意a>0,Var(X)為X的方差,定義如下:
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若以馬爾可夫不等式為基礎,柴比雪夫不等式可視為考慮以下隨機變量
-
根據馬爾可夫不等式,可得到以下的結果
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- 馬爾可夫不等式可用來證明柴比雪夫不等式。
- 馬爾可夫不等式可用來證明一個非負的隨機變量,其平均值 和中位數 滿足 的關係。
- ^ Sheldon M Ross. Introduction to probability and statistics for engineers and scientists. Academic Press. 2009: 第127頁. ISBN 9780123704832.
- ^ E.M. Stein, R. Shakarchi, "Real Analysis, Measure Theory, Integration, & Hilbert Spaces", vol. 3, 1st ed., 2005, p.91