马尔可夫性质

马尔可夫性质(英语:Markov property)是概率论中的一个概念,因为俄国数学家安德雷·马尔可夫得名[1]。当一个随机过程在给定现在状态及所有过去状态情况下,其未来状态的条件概率分布仅依赖于当前状态;换句话说,在给定现在状态时,它与过去状态(即该过程的历史路径)是条件独立的,那么此随机过程即具有马尔可夫性质。具有马尔可夫性质的过程通常称之为马尔可夫过程

数学上,如果为一个随机过程,则马尔可夫性质就是指

马尔可夫过程通常称其为(时间)齐次,如果满足

除此之外则被称为是(时间)非齐次的。齐次马尔可夫过程通常比非齐次的简单,构成了最重要的一类马尔可夫过程。

某些情况下,明显的非马尔可夫过程也可以通过扩展“现在”和“未来”状态的概念来构造一个马尔可夫表示。设为一个非马尔可夫过程。我们就可以定义一个新的过程,使得每一个的状态表示的一个时间区间上的状态,用数学方法来表示,即,

如果具有马尔可夫性质,则它就是的一个马尔可夫表示。 在这个情况下,也可以被称为是二阶马尔可夫过程更高阶马尔可夫过程也可类似地来定义。

具有马尔可夫表示的非马尔可夫过程的例子,例如有移动平均时间序列

最有名的马尔可夫过程为马尔可夫链,但不少其他的过程,包括布朗运动也是马尔可夫过程。

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参考文献

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  1. ^ Markov, A. A. (1954). Theory of Algorithms. [Translated by Jacques J. Schorr-Kon and PST staff] Imprint Moscow, Academy of Sciences of the USSR, 1954 [Jerusalem, Israel Program for Scientific Translations, 1961; available from Office of Technical Services, United States Department of Commerce] Added t.p. in Russian Translation of Works of the Mathematical Institute, Academy of Sciences of the USSR, v. 42. Original title: Teoriya algorifmov. [QA248.M2943 Dartmouth College library. U.S. Dept. of Commerce, Office of Technical Services, number OTS 60-51085.]