馬爾可夫性質

馬爾可夫性質（英語：Markov property）是概率論中的一個概念，因為俄國數學家安德雷·馬可夫得名。當一個隨機過程在給定現在狀態及所有過去狀態情況下，其未來狀態的條件概率分布僅依賴於當前狀態；換句話說，在給定現在狀態時，它與過去狀態（即該過程的歷史路徑）是條件獨立的，那麼此隨機過程即具有馬爾可夫性質。具有馬爾可夫性質的過程通常稱之為馬爾可夫過程。

數學上，如果$X(t),t>0$為一個隨機過程，則馬爾可夫性質就是指

$\mathrm {Pr} {\big [}X(t+h)=y\,|\,X(s)=x(s),s\leq t{\big ]}=\mathrm {Pr} {\big [}X(t+h)=y\,|\,X(t)=x(t){\big ]},\quad \forall h>0.$

馬爾可夫過程通常稱其為（時間）齊次，如果滿足

$\mathrm {Pr} {\big [}X(t+h)=y\,|\,X(t)=x(t){\big ]}=\mathrm {Pr} {\big [}X(h)=y\,|\,X(0)=x(0){\big ]},\quad \forall t,h>0,$

除此之外則被稱為是（時間）非齊次的。齊次馬爾可夫過程通常比非齊次的簡單，構成了最重要的一類馬爾可夫過程。

某些情況下，明顯的非馬爾可夫過程也可以通過擴展「現在」和「未來」狀態的概念來構造一個馬爾可夫表示。設$X$為一個非馬爾可夫過程。我們就可以定義一個新的過程$Y$，使得每一個$Y$的狀態表示$X$的一個時間區間上的狀態，用數學方法來表示，即，

$Y(t)={\big \{}X(s):s\in [a(t),b(t)]\,{\big \}}.$

如果$Y$具有馬爾可夫性質，則它就是$X$的一個馬爾可夫表示。 在這個情況下，$X$也可以被稱為是二階馬爾可夫過程。更高階馬爾可夫過程也可類似地來定義。

具有馬爾可夫表示的非馬爾可夫過程的例子，例如有移動平均時間序列。

最有名的馬爾可夫過程為馬爾可夫鏈，但不少其他的過程，包括布朗運動也是馬爾可夫過程。

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