不失一般性

不失一般性（without loss of generality，缩写：WLOG、WOLOG）是数学证明中的一种用词，表示虽然证明中引入了原命题不包含的假设，但是其仍然充分证明了原命题，而非仅仅证明了一个特例。这一用词常见于证明带有对称性的命题。

例子

舒尔不等式声称，对于任意非负实数$x$、$y$、$z$和正数$t$都有:

$x^{t}(x-y)(x-z)+y^{t}(y-z)(y-x)+z^{t}(z-x)(z-y)\geq 0.$

对其的证明便可以假设：

不失一般性，设$x\geq y\geq z$。

因为$\geq$是实数集上的全序关系，$x\geq y\geq z$、$x\geq z\geq y$、$y\geq x\geq z$、$y\geq z\geq x$、$z\geq x\geq y$、$z\geq y\geq x$六种情况中中至少有一种成立。舒尔不等式的对称性使得在$x$、$y$、$z$之间交换名字仍会得到完全相同的不等式。只需有以上任意一种情况下的证明，则任一其他情况下均可以简单地通过变换该证明中的字母而得证。因此证明中可以假设$x\geq y\geq z$，而略去其他情况下的证明。

一些可以直接地被变换为另一种更简单形式的命题，其证明中也可用到该词。如代数基本定理：

任何一个一元复系数多项式方程都至少有一个复数根。

其证明可以假设：

不失一般性，设该多项式最高次项的系数为$1$。

因为该多项式最高次项原本的系数不为$0$，而多项式乘以任意常数均不改变其根的性质，故可以作出此假设。

参见

• Up to
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• 准用

外部链接

• WLOG. PlanetMath.