代数基本定理

代数基本定理（英语：fundamental theorem of algebra）说明，任何一个一元复系数多项式方程都至少有一个复数根。也就是说，复数域是代数封闭的。

有时这个定理表述为：任何一个非零的一元n次复系数多项式，都正好有n个复数根（重根视为多个根）。这似乎是一个更强的命题，但实际上是“至少有一个根”的直接结果，因为不断把多项式除以它的线性因子，即可从有一个根推出有n个根。也就是说，任何一个n次多项式，都可以因式分解为n个复系数一次多项式的乘积。

尽管这个定理被命名为“代数基本定理”，但它还没有纯粹的代数证明，许多数学家都相信这种证明不存在。^[1]另外，它也不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或复系数多项式方程，所以才被命名为代数基本定理。

高斯一生总共对这个定理给出了四个证明，其中第一个是在他22岁时（1799年）的博士论文中给出的。高斯给出的证明既有几何的，也有函数的，还有积分的方法。高斯关于这一命题的证明方法是去证明其根的存在性，开创了关于研究存在性命题的新途径。

同时，高次代数方程的求解仍然是一大难题。伽罗瓦理论指出，对于一般五次以及五次以上的方程，不存在一般的代数解。

证明

所有的证明都包含了一些数学分析，至少是实数或复数函数的连续性概念。有些证明也用到了可微函数，甚至是解析函数。

定理的某些证明仅仅证明了任何实系数多项式都有复数根。这足以推出定理的一般形式，这是因为，给定复系数多项式p(z)，以下的多项式

q(z)=p(z){\overline {p({\overline {z}})}}

就是一个实系数多项式，如果z是q(z)的根，那么z或它的共轭复数就是p(z)的根。

许多非代数证明都用到了“增长引理”：当|z|足够大时，首系数为1的n次多项式函数p(z)的表现如同zⁿ。一个更确切的表述是：存在某个正实数R，使得当|z| > R时，就有：

{\tfrac {1}{2}}|z^{n}|<|p(z)|<{\tfrac {3}{2}}|z^{n}|

复分析证明

证明一

寻找一个中心为原点，半径为r的闭圆盘D，使得当|z| ≥ r时，就有|p(z)| > |p(0)|。因此，|p(z)|在D内的最小值（一定存在，因为D是紧致的），是在D的内部的某个点z₀取得，但不能在边界上取得。于是，根据最大模原理，p(z₀) = 0。也就是说，z₀是p(z)的一个零点（根）。

证明二

由于在D之外，有|p(z)| > |p(0)|，因此在整个复平面上，|p(z)|的最小值在z₀取得。如果|p(z₀)| > 0，那么1/p在整个复平面上是有界的全纯函数，这是因为对于每一个复数z，都有|1/p(z)| ≤ |1/p(z₀)|。利用刘维尔定理（有界的整函数一定是常数），可知1/p是常数，因此p是常数。于是得出矛盾，所以p(z₀) = 0。

证明三

这个证明用到了辐角原理。设R为足够大的正实数，使得p(z)的每一个根的绝对值都小于R；这个数一定存在，因为n次多项式函数最多有n个根。对于每一个r > R，考虑以下的数：

{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {p'(z)}{p(z)}}\,dz,

其中c(r)是中心为0，半径为r的逆时针方向的圆；于是辐角原理表明，这个数是p(z)在中心为0、半径为r的开圆盘内的零点的数目N，由于r > R，所以它也是p(z)的零点的总数目。另一方面，n/z沿着c(r)的积分除以2πi，等于n。但这两个数的差为：

{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {p'(z)}{p(z)}}-{\frac {n}{z}}\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {zp'(z)-np(z)}{zp(z)}}\,dz.

被积分的有理表达式中的分子，次数最多是n − 1，而分母的次数是n + 1。因此，当r趋于+∞时，以上的数趋于0。但这个数也等于N − n，因此有N = n。

证明四

这个证明结合了线性代数和柯西积分定理。为了证明每一个n > 0次复系数多项式都有一个根，只需证明每一个方块矩阵都有一个复数特征值^[2]。证明用到了反证法。

设A为大小n > 0的方块矩阵，并设I_n为相同大小的单位矩阵。假设A没有特征值。考虑预解函数

R(z)=(zI_{n}-A)^{-1},\,

它在复平面上是亚纯函数，它的值位于矩阵的向量空间内。A的特征值正好是R(z)的极点。根据假设，A没有特征值，因此函数R(z)是整函数，根据柯西积分定理可知：

\int _{c(r)}R(z)dz=0.\,

另一方面，把R(z)展开为几何级数，可得：

R(z)=z^{-1}(I_{n}-z^{-1}A)^{-1}=z^{-1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{z^{k}}}A^{k}\cdot

这个公式在半径为||A||的闭圆盘的外部（A的算子范数）成立。设r > ||A||。那么：

\int _{c(r)}R(z)dz=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{c(r)}{\frac {dz}{z^{k+1}}}A^{k}=2\pi iI_{n}

（仅当k = 0时，积分才不等于零）。于是得出矛盾，因此A一定有一个特征值。

拓扑学证明

设z₀ ∈ C为使|p(z)|在z₀取得最小值的数; 从用到刘维尔定理的证明中，可以看到这样一个数一定存在。我们可以把p(z)写成z − z₀的多项式：存在某个自然数k和一些复数c_k、c_k + 1、…、c_n，使得c_k ≠ 0，以及：

p(z)=p(z_{0})+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}

.

可推出如果a是(p(z)-p(z₀))/c_k的一个k重根，且t是足够小的正数，那么|p(z₀ + ta)| < |p(z₀)|，这是不可能的，因为|p(z₀)|是|p|在D内的最小值。

对于另外一个用到反证法的拓扑学证明，假设p(z)没有根。选择一个足够大的正数R，使得对于|z| = R，p(z)的第一项zⁿ大于所有其它的项的和；也就是说，|z|ⁿ > |a_n − 1z^n −1 + ··· + a₀|。当z依逆时针方向绕过方程为|z| = R的圆一次时，p(z)，像zⁿ那样，依逆时针方向绕过零n次。在另外一个极端，|z| = 0时，“曲线” p(z)仅仅是一个（非零的）点p(0)，它的卷绕数显然是0。如果z所经过的回路在这两个极端中被连续变形，那么p(z)的路径也连续变形。我们可以把这个变形记为 $H(Re^{i\theta },t)=p((1-t)Re^{i\theta })$ ，其中t大于或等于0，而小于或等于1。如果我们把变量t视为时间，那么在时间为零时，曲线为p(z)，时间为1时，曲线为p(0)。显然在每一个点t，根据原先的假设p(z)都不能是零，因此在变形的过程中，曲线一直都没有经过零。因此曲线关于0的绕数应该不变。然而，由于绕数在一开始是n，结束时是0，因此得出矛盾。所以，p(z)至少有一个根。

代数证明

这个证明需要依赖实数集的如下事实：正实数在 $\mathbb {R}$ 上有实平方根，以及任何奇次多项式在 $\mathbb {R}$ 上有一个根（这可以用介值定理证明）。

首先 $\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)=\mathbb {R} (i)$ 。经过简单的计算可以证明 $\mathbb {C}$ 在开平方运算下是封闭的（利用事实1）。结合 $char\mathbb {C} =0\neq 2$ 。得出 $\mathbb {C}$ 不存在二阶扩张。

由于 $char\mathbb {R} =0$ ，于是任何 $\mathbb {R}$ 的扩张都是可分的，从而任何 $\mathbb {R}$ 的代数扩张都可以被包含在一个伽罗瓦扩张内。假设 $K/\mathbb {R}$ 、 $K/\mathbb {C}$ 都是伽罗瓦扩张。考虑伽罗瓦群 $G=Gal(K/\mathbb {R} )$ 的西罗2-子群H。那么 $[K^{H}:\mathbb {R} ]$ 是奇数。由本原元定理得出，K^H存在本原元 $\alpha$ ，它的极小多项式是奇次的。但是利用实数集的事实2，任何奇次数多项式在实数上有一个根，不存在奇数次且次数>1的不可分多项式。于是 $H=G,K^{H}=\mathbb {R} ,[K:\mathbb {R} ]$ 是2的幂次。

假设 $[K:\mathbb {C} ]=2^{r}$ 并且r>0，再次利用西罗定理，G存在一个阶为2^r-1的子群N。这时 $[K^{N}:\mathbb {C} ]=2$ 。这和先前 $\mathbb {C}$ 不存在二阶扩张矛盾。因此 $\mathbb {C}$ 的任何代数扩张都是 $\mathbb {C}$ 本身，代数基本定理得证。

推论

由于代数基本定理可以视为复数域是代数封闭的，可推出任何关于代数封闭域的定理在复数域都是适用的。这个定理有一些推论，要么是关于实数域的，要么是关于实数域与复数域之间的关系的：

复数域是实数域的代数闭包。

每一个一元实系数多项式都可以表示为常数、x + a形式的多项式（a为实数），以及x² + ax + b形式的多项式（a和b为实数，a² − 4b < 0）的乘积。

每一个一元实系数有理函数都可以写成a/(x − b)ⁿ形式的有理函数（其中n是自然数，a和b是实数），与(ax + b)/(x² + cx + d)ⁿ形式的有理函数（其中n是自然数，a、b、c和d是实数，c² − 4d < 0）的和。由此可以推出，任何一个一元实系数有理函数都有一个初等的原函数。

实数域的任何一个代数扩张要么与实数域同构，要么与复数域同构。

韦达公式

韦达公式把多项式的系数 $\lbrace a_{k}\rbrace$ 与它的根 $\lbrace x_{k}\rbrace$ 的和与积联系起来。

这可以直接从以下等式的展开式推出： $a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})$

注释

^ 参见R. Remmert的作品The fundamental theorem of Algebra的§1.9。
^ 证明参见这里。

参考文献

历史上的文献

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卡尔·弗里德里希·高斯, “Another new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree（页面存档备份，存于互联网档案馆）”, 1815

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外部链接

[1] 参见R. Remmert的作品The fundamental theorem of Algebra的§1.9。

[2] 证明参见这里。

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