二次方程

二次方程是一种整式方程，主要特点是未知项的最高次数是2，其中最常见的是一元二次方程^[1]。

一元二次方程

方程的一般形式

一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，它的一般形式为： $ax^{2}+bx+c=0\,$ ，其中 $a\neq 0$ 。 $ax^{2}\,$ 为方程的二次项， $a\,$ 为方程的二次项系数； $bx\,$ 为一次项， $b\,$ 为一次项系数； $c\,$ 为常数项。若 $a=0\,$ ，则该方程没有二次项，即退变为一元一次方程。

求根公式

■

y={\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x-{\frac {4}{3}}\,

■

y=-{\frac {4}{3}}x^{2}+{\frac {4}{3}}x+{\frac {1}{3}}\,

■

y=x^{2}+{\frac {1}{2}}\,

一元二次方程根的判别式为 $\Delta =b^{2}-4ac\,$ 。

若 $\Delta >0\,$ ，则该方程有两个不相等的实数根： $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,$ ；

若 $\Delta =0\,$ ，则该方程有两个相等的实数根： $x_{1,2}=-{\frac {b}{2a}}\,$ ；

若 $\Delta <0\,$ ，则该方程有一对共轭复数根： $x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}\,$ 。

由上可知，在实数范围内求解一元二次方程，当 $\Delta \geq 0\,$ 时，方程才有根（有两个不等实数根或两个相等实数根）；当 $\Delta <0\,$ 时，方程有两个复数根，但是在实数范围无解。

根与系数的关系

设 $x_{1}\,$ ， $x_{2}\,$ 是一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0\,$ （ $a\neq 0\,$ ）的两根，则

两根之和： $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$

两根之积： $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$

求根公式的由来

中亚细亚的花拉子米 (约780-约850) 在公元820年左右出版了《代数学》。书中给出了一元二次方程的求根公式，并把方程的未知数叫做“根”，其后译成拉丁文radix。

我们通常把 $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ 称之为 $ax^{2}+bx+c=0\,$ 的求根公式：

${\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}$

或不将 $x^{2}$ 系数化为1：

${\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\ax^{2}+bx+\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c\\\left(x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c\\x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}&=\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c}}\\x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a}}-c}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}}}\\x&=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}$

对应函数的极值

设 $y=ax^{2}+bx+c\,$ （ $a\neq 0\,$ ），
对 $x\,$ 求导，得

{\frac {\mathop {\mbox{d}} y}{\mathop {\mbox{d}} x}}=2ax+b

令 ${\frac {\mathop {\mbox{d}} y}{\mathop {\mbox{d}} x}}=0$ ，得

{\begin{aligned}x&=-{\frac {b}{2a}}\end{aligned}}

即为 $y\,$ 的极值点，该式亦为函数图形（即抛物线）的对称轴方程。将 $x=-{\frac {b}{2a}}$ 代入 $y\,$ ，可得

{\begin{aligned}y&=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\end{aligned}}

即为 $y\,$ 的极值。

根据函数取极值的充分条件，即：
$f''(x)<0\,$ ， $x\,$ 是 $f(x)\,$ 的极大值点，
$f''(x)>0\,$ ， $x\,$ 是 $f(x)\,$ 的极小值点；
由 ${\frac {\mathop {\mbox{d}} ^{2}y}{\mathop {\mbox{d}} x^{2}}}=2a$ ，可知：
当 $a<0\,$ 时（抛物线开口向下）， $x=-{\frac {b}{2a}}$ 为 $y\,$ 的极大值点；
当 $a>0\,$ 时（抛物线开口向上）， $x=-{\frac {b}{2a}}$ 为 $y\,$ 的极小值点。

参见

参考

^ 一般二次方程的讨论. [2012-12-29]. （原始内容存档于2019-07-24）. （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[1] 一般二次方程的讨论. [2012-12-29]. （原始内容存档于2019-07-24）. （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[1]