先证明第一种情况 ;第二种情况也类似。
设 为 内所有 的集合,使得 。那么 是非空的,因为 是 的一个元素,且 是上有界的,其上界为 。于是,根据实数的完备性,最小上界 一定存在。我们来证明 。
- 假设 。那么 ,因此存在 ,使得当 时,就有 ,因为 是连续函数。但是,这样一来,当 时,就有 (也就是说,对于 内的 , 皆 )。但参照上述定义,因为 , 因此存在 ,使得 , 所以我们有: 并且 , 这显然是矛盾的。
- 假设 。根据连续性,存在一个 ,使得当 时,就有 。那么对于 内的 ,都有 ,因此存在大于 的 ,使得 ,这与 的定义矛盾。
因此 。
与实数完备性的关系
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零点定理(波尔查诺定理)
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现实世界中的意义
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介值定理意味着在地球的任何大圆上,温度、压强、海拔、二氧化碳的浓度(或其他任何连续变化的变量),总存在两个对跖点,在这两个点上该变量的值是相同的。
证明:取f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线,与圆相交于点A和点B。设d为f(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度,将得到值−d。根据介值定理,一定存在某个旋转角,使得d = 0,在这个角度上便有f(A) = f(B)。
这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。
参考资料
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外部链接
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