先證明第一種情況 ;第二種情況也類似。
設 為 內所有 的集合,使得 。那麼 是非空的,因為 是 的一個元素,且 是上有界的,其上界為 。於是,根據實數的完備性,最小上界 一定存在。我們來證明 。
- 假設 。那麼 ,因此存在 ,使得當 時,就有 ,因為 是連續函數。但是,這樣一來,當 時,就有 (也就是說,對於 內的 , 皆 )。但參照上述定義,因為 , 因此存在 ,使得 , 所以我們有: 並且 , 這顯然是矛盾的。
- 假設 。根據連續性,存在一個 ,使得當 時,就有 。那麼對於 內的 ,都有 ,因此存在大於 的 ,使得 ,這與 的定義矛盾。
因此 。
與實數完備性的關係
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零點定理(波爾查諾定理)
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現實世界中的意義
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中間值定理意味著在地球的任何大圓上,溫度、壓強、海拔、二氧化碳的濃度(或其他任何連續變化的變量),總存在兩個對蹠點,在這兩個點上該變量的值是相同的。
證明:取f為圓上的任何連續函數。通過圓的中心作一條直線,與圓相交於點A和點B。設d為f(A) − f(B)的差。如果把這條直線旋轉180度,將得到值−d。根據中間值定理,一定存在某個旋轉角,使得d = 0,在這個角度上便有f(A) = f(B)。
這是一個更加一般的結果——博蘇克-烏拉姆定理的特殊情況。
參考資料
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外部連結
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