位置算符

在量子力学里，位置算符（position operator）是一种量子算符。对应于位置算符的可观察量是粒子的位置。位置算符的本征值是位置向量。采用狄拉克标记，位置算符 ${\hat {x}}$ 的本征态 $|x\rangle$ 满足方程式

${\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle$ ；

其中，$x$ 是本征值，是量子态为 $|x\rangle$ 的粒子所处的位置，$x$ 只是一个数值。

位置空间表现

设定量子态 $|\Psi \rangle ={\hat {x}}|\psi \rangle$ 。量子态 $|\Psi \rangle$ 、$|\psi \rangle$ 的位置空间表现，即波函数，分别定义为

$\Psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\Psi \rangle$ 、

$\psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\psi \rangle$ 。

在位置空间里，定义算符 ${\hat {\mathfrak {x}}}$ 为

${\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ x\psi (x)$ 。

在位置空间里，使用连续本征态 $|x'\rangle$ 所组成的基底，任意量子态 $|\psi \rangle$ 展开为

$|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ |x'\rangle \langle x'|\psi \rangle$ 。

将量子算符 ${\hat {x}}$ 作用于量子态 $|\psi \rangle$ ，可以得到

${\hat {x}}|\psi \rangle ={\hat {x}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ |x'\rangle \langle x'|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ x'|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ x'\psi (x')|x'\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ {\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x')|x'\rangle$ 。

应用狄拉克正交归一性，$\langle x|x'\rangle =\delta (x-x')$ ，这方程式与左矢 $\langle x|$ 的内积为

$\langle x|{\hat {x}}|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ {\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x')\langle x|x'\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ {\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x')\delta (x-x')={\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x)$ 。

量子态 $|\Psi \rangle$ 的展开式为

$\Psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ |x'\rangle \langle x'|\Psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ \Psi (x')|x'\rangle$ 。

应用狄拉克正交归一性，这方程式与左矢 $\langle x|$ 的内积为

$\langle x|\Psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ \Psi (x')\langle x|x'\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ \Psi (x')\delta (x-x')=\Psi (x)$ 。

所以，两个波函数 $\Psi (x)$ 、$\psi (x)$ 之间的关系为

$\Psi (x)={\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x)$ 。

总结，位置算符 ${\hat {x}}$ 作用于量子态 $|\psi \rangle$ 的结果 $|\Psi \rangle$ ，表现于位置空间，等价于波函数 $\psi (x)$ 与 $x$ 的乘积 $\Psi (x)$ 。位置算符 ${\hat {x}}$ 的位置空间表现是位算符 ${\hat {\mathfrak {x}}}$ ，可以称算符 ${\hat {\mathfrak {x}}}$ 为位置算符。

本征函数

假设，在位置空间里，位置算符 ${\hat {\mathfrak {x}}}$ 的本征值为 $q$ 的本征函数是 $g_{q}(x)$ 。用方程式表达，

${\hat {\mathfrak {x}}}g_{q}(x)=qg_{q}(x)$ 。

这方程式的一般解为，

$g_{q}(x)=g_{0}\delta (x-q)$ ；

其中，$g_{0}$ 是常数，$\delta (x-q)$ 是狄拉克δ函数。

注意到 $g_{q}(x)$ 无法归一化：

$\int _{-\infty }^{\infty }\ g_{q}^{*}(x)g_{q}(x)\ dx=|g_{0}|^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\ \delta ^{2}(x-q)\ dx={\mbox{?}}$ 。

设定 $g_{0}=1$ ，函数 $g_{q}(x)$ 满足下述方程式：

$\int _{-\infty }^{\infty }\ g_{q1}^{*}(x)g_{q2}(x)\ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ \delta (x-q1)\delta (x-q2)\ dx=\delta (q1-q2)$ 。

这性质不是普通的正交归一性，这性质称为狄拉克正交归一性。因为这性质，位置算符的本征函数具有完备性，也就是说，任意波函数 $\psi (x)$ 都可以表达为本征函数的线性组合：

$\psi (x)=\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi (q)g_{q}(x)\ dq$ 。

虽然本征函数 $g_{q}(x)$ 所代表的量子态是无法实际体现的，并且严格而论，不是一个函数，它可以视为代表一种理想量子态，这种理想量子态具有准确的位置 $q$ ，因此，根据不确定性原理，这种理想量子态的动量呈均匀分布。

期望值

采用位置空间表现，设想一个移动于一维空间的量子粒子。在这里，希尔伯特空间是 ${\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} )$ ，是实值定义域的平方可积函数的空间。两个态向量的内积是

$\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{1}^{*}(x)\psi _{2}(x)\,\mathrm {d} x$ 。

对于任意量子态 $\psi$ ，可观察量 $x$ 的期望值为

$\langle x\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {x}}|\psi \rangle$ 。

位置算符 ${\hat {x}}$ 作用于量子态 $|\psi \rangle$ 的结果，表现于位置空间，等价于波函数 $\psi (x)$ 与 $x$ 的乘积，所以，

$\langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,x\,\psi (x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }x\,|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x$ 。

粒子处于 $x$ 与 $x+dx$ 微小区间内的机率是

$p(x)\mathrm {d} x=\psi ^{*}(x)\psi (x)\mathrm {d} x$ 。

粒子位置与机率的乘积在位置空间的积分，就是粒子位置的期望值。

三维案例

推广至三维空间相当直截了当，参数为三维位置 $\mathbf {r}$ 的波函数为 $\psi (\mathbf {r} )$ ，位置的期望值为

$\langle \mathbf {r} \rangle =\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} |\psi (\mathbf {r} )|^{2}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r}$ ；

其中，$\mathbb {V}$ 是积分体积。

位置算符 $\mathbf {\hat {\mathfrak {r}}}$ 的作用为

$\mathbf {\hat {\mathfrak {r}}} \psi =\mathbf {r} \psi$ 。

对易关系

位置算符与动量算符的对易算符，当作用于波函数时，会得到一个简单的结果：

$[{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\psi =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})\psi =x{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial (x\psi )}{\partial x}}=i\hbar \psi$ 。

所以，$[{\hat {x}},\ {\hat {p}}]=i\hbar$ 。这关系称为位置算符与动量算符的对易关系。由于两者的对易关系不等于 0 ，位置与动量彼此是不相容可观察量。${\hat {x}}$ 与 ${\hat {p}}$ 绝对不会拥有共同的基底量子态。一般而言，${\hat {x}}$ 的本征态与 ${\hat {p}}$ 的本征态不同。

根据不确定性原理，

$\Delta A\ \Delta B\geq \left|{\frac {\langle [A,\ B]\rangle }{2i}}\right|$ 。

由于 $x$ 与 $p$ 是两个不相容可观察量，$\left|{\frac {\langle [{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\rangle }{2i}}\right|=\hbar /2$ 。所以，$x$ 的不确定性与 $p$ 的不确定性的乘积 $\Delta x\ \Delta p$ ，必定大于或等于 $\hbar /2$ 。