倒数伽玛函数

在数学中，倒数伽玛函数（英语：Reciprocal gamma function）是指伽玛函数的倒数：

Γ函数的倒数

Γ函数（蓝色）、Γ函数的倒数（橘色）

Γ函数的倒数的函数图形

倒数伽玛函数 1/Γ(z) 的色相环复变函数图形

$f(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}$

其中，Γ(z)代表伽玛函数。由于伽玛函数在整个复数平面上皆非零且为亚纯函数，因此其倒数是一个整函数。

倒数伽玛函数是一个1阶整函数，其表示了log log |1/Γ(z)|的成长速度不会高过log |1/Γ(z)|。虽为1阶整函数但属无穷型，也就是说log |1/Γ(z)|的增长速度比任何|z|的倍数都快，因为它的增长与左手平面上的|z| log |z|大致成比例。

由于倒数伽玛函数不像伽玛函数快速成长，在程式计算上较伽玛函数容易，例如其泰勒级数，因此部分软体使用倒数伽玛函数作为计算伽玛函数的起点，一些软体除了计算伽玛函数外，会额外提供倒数伽玛函数。

魏尔斯特拉斯将倒数伽玛函数称为“factorielle”表示阶乘的倒数，并用于魏尔施特拉斯分解定理的发展。

无穷乘积展开

根据莱昂哈德·欧拉以及卡尔·魏尔斯特拉斯给出的伽玛函数无穷乘积定义，可以推得倒数伽玛函数即伽玛函数之倒数的无穷乘积：

${\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\\{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\end{aligned}}$

其中$\gamma \approx 0.577216...$是欧拉-马斯刻若尼常数。这个乘积展开式对所有复数z都有效。

泰勒级数

倒数伽玛函数从零展开的泰勒级数为：

${\frac {1}{\Gamma (z)}}=z+\gamma z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)z^{3}+\cdots$

其中γ是欧拉-马斯刻若尼常数。对n > 2的情形，其zⁿ的系数a_n可由递回定义求出：

$a_{n}={\frac {a_{2}a_{n-1}-\sum _{j=2}^{n-1}(-1)^{j}\,\zeta (j)\,a_{n-j}}{n-1}}$

其中ζ(s)代表黎曼ζ函数。2014年，Fekih-Ahmed发现这些系数可以用积分表示：

$a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\pi n!}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\Im [(\log(t)-i\pi )^{n}]dt.$

其前几项的值为：

n	an
1	+1.0000000000000000000000000000000000000000
2	+0.5772156649015328606065120900824024310422
3	−0.6558780715202538810770195151453904812798
4	−0.0420026350340952355290039348754298187114
5	+0.1665386113822914895017007951021052357178
6	−0.0421977345555443367482083012891873913017
7	−0.0096219715278769735621149216723481989754
8	+0.0072189432466630995423950103404465727099
9	−0.0011651675918590651121139710840183886668
10	−0.0002152416741149509728157299630536478065
11	+0.0001280502823881161861531986263281643234
12	−0.0000201348547807882386556893914210218184
13	−0.0000012504934821426706573453594738330922
14	+0.0000011330272319816958823741296203307449
15	−0.0000002056338416977607103450154130020573
16	+0.0000000061160951044814158178624986828553
17	+0.0000000050020076444692229300556650480600
18	−0.0000000011812745704870201445881265654365
19	+0.0000000001043426711691100510491540332312
20	+0.0000000000077822634399050712540499373114
21	−0.0000000000036968056186422057081878158781
22	+0.0000000000005100370287454475979015481323
23	−0.0000000000000205832605356650678322242954
24	−0.0000000000000053481225394230179823700173
25	+0.0000000000000012267786282382607901588938
26	−0.0000000000000001181259301697458769513765
27	+0.0000000000000000011866922547516003325798
28	+0.0000000000000000014123806553180317815558
29	−0.0000000000000000002298745684435370206592
30	+0.0000000000000000000171440632192733743338

而a_n的近似值为：

$a_{n}\approx (-1)^{n}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sqrt {n}}{n!}}\Im \left(e^{-nz_{0}}{\frac {z_{0}^{1/2-n}}{\sqrt {1+z_{0}}}}\right),$

其中，$z_{0}={\frac {e^{W_{-1}(-n)}}{-n}}$

而$W_{-1}$是分支为负一的朗伯W函数。

渐近展开

当|z|在arg(z)为一固定值的情形下趋于无穷，则有：

$\ln(1/\Gamma (z))\sim -z\ln(z)+z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z}{2\pi }}\right)-{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{360z^{3}}}-{\frac {1}{1260z^{5}}}\qquad \qquad {\text{for}}\quad |\arg(z)|<\pi$

以围线积分表示

倒数伽玛函数可使用围线积分（contour integration）表示，此表示法由赫尔曼·汉克尔所提出，其为：

${\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\oint _{H}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,$

其中，H为汉克尔围线。

阶乘倒数

阶乘倒数是指阶乘的倒数。其等于所有小于及等于该数的正整数之倒数的积：

$\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}={\frac {1}{n!}}\quad \forall n\geq 1$

其无穷级数收敛在e：

$\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=e$

由于阶乘可以用伽玛函数来定义，因此阶乘倒数也可以表示为：

${\frac {1}{n!}}={\frac {1}{\Gamma (z+1)}}$.

对于$n\geq 1$的正整数，其阶乘倒数可以用一个积分表示 ：

${\frac {1}{n!}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-n\imath \vartheta }e^{e^{\imath \vartheta }}\ d\vartheta$.

同理，倒数伽玛函数也可以用类似的方法表示。对所有的实数$c>0$ 且 $z\in \mathbb {C}$，我们可以写出倒数伽玛函数沿著实轴的积分表示式：

${\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }(c+\imath t)^{-z}e^{c+\imath t}dt,$

其中在$z:=n+1/2$的特定情况下，则可获得双阶乘的倒数与倒数伽玛函数之关系：

${\frac {1}{(2n-1)!!}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n}\cdot \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}}$

积分

将倒数伽玛函数在实轴上从零积到无穷的瑕积分为：

$\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx\approx 2.80777024,$（OEIS数列A058655）

这个值又称为弗朗桑－罗宾逊常数。

参见

• 伽玛函数
• 反伽玛函数

参考文献

1. Thomas Schmelzer & Lloyd N. Trefethen, Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations
2. Mette Lund, An integral for the reciprocal Gamma function （页面存档备份，存于互联网档案馆）
3. Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
4. Eric W. Weisstein, Gamma Function（页面存档备份，存于互联网档案馆）, MathWorld