优环
在交换代数中,尤其在代数几何的应用中,优环(法文:anneau excellent、英文:excellent ring)是一类性质与完备局部环相近的交换诺特环。这类环首先由亚历山大·格罗滕迪克定义。
代数几何与数论中出现的诺特环通常都是优环,此外优环也与奇点消解相关;广中平祐在1964年证明了特征为零时的奇点消解定理。
定义
编辑以下所论之环皆假定为么交换环。
- 一个包含域 的环 被称作在 上是几何正则的,若且唯若对任何有限扩张 ,环 都是正则的。
- 一个环同态 被称作是正则的,若且唯若它是平坦的,且对任何 其纤维 在剩馀域 上几何正则。
- 一个环 被称作 G-环(或格罗滕迪克环),若且唯若它是诺特环,且所有的形式纤维都是几何正则的;第二个条件意谓:对任何 ,环同态
- 是正则的。
- 一个环 被称作是拟优环,若且唯若它是个 G-环,且对任意有限生成的 -代数 , 的奇点集是闭的。
- 一个优环是一个泛链的拟优环。
实际应用中的诺特环几乎都是泛链的,因此拟优环与优环几无差别。
优环的例子
编辑- 完备局部诺特环,包括域。
- 特征为零的戴德金环,包括整数环 。
- 或 上的收敛幂级数环。
- 优环的局部化仍为优环。
- 优环上的有限生成代数仍为优环。
以下将给出一个特征 的一维局部正则环而非优环的例子。设 是一个特征 p 的域, ,令 ,更令
则 有非几何正则的的形式纤维,故非优环。
凡拟优环皆为永田雅宜环。
优概形与拟优概形
编辑如果一个概形 有仿射开覆盖 ,使得每个 都是优环的谱,则称 为优概形。此条件一旦对某个仿射开覆盖满足,则被所有仿射开覆盖满足。
拟优概形的定义类此。
奇点解消
编辑拟优环与奇点解消问题关系密切,这似乎也是格罗滕迪克定义拟优环的动机。格罗滕迪克在 1965 年观察到:若能在所有完备的局部诺特整环中消解奇点,则在所有既约的拟优环中亦然。广中平祐在1964年证明了:特征为零时,完备局部诺特整环中皆可消解奇点。因此在特征为零的域上,凡优环皆可消解奇点。反之,若能在诺特环 上的所有有限生成整代数上消解奇点,则 是拟优环。
文献
编辑- V.I. Danilov, Excellent ring, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- A. Grothendieck, J. Dieudonne, Eléments de géométrie algébrique (页面存档备份,存于互联网档案馆) Publ. Math. IHES , 24, section 7 (1965)
- Hironaka, Heisuke Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero. I, II. Ann. of Math. (2) 79 (1964), 109-203; ibid. (2) 79 1964 205-326.
- H. Matsumura, Commutative algebra ISBN 0-8053-7026-9, chapter 13.