凯莱–哈密顿定理

线性代数中,凯莱–哈密顿定理(英语:Cayley–Hamilton theorem)(以数学家阿瑟·凯莱威廉·卢云·哈密顿命名)表明每个布于任何交换环上的实或复方阵都满足其特征方程式。

明确地说:设为给定的矩阵,并设单位矩阵,则特征多项式定义为:

其中行列式函数。凯莱–哈密顿定理断言:

凯莱–哈密顿定理等价于方阵的特征多项式会被其极小多项式整除,这在寻找若尔当标准形时特别有用。

例子

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举例明之,考虑下述方阵:

 

其特征多项式为

 

此时可以直接验证凯莱–哈密顿定理:

 

此式可以简化高次幂的运算,关键在于下述关系:

 
 

例如,为了计算 ,可以反复利用上述关系式:

 
 
 

或是,如果要计算 ,也可以假设:

 

然后,依照前面的特征多项式 之两解 ,代入后可以得到

 
 

然后解方程后求出 ,便可得 

此外,凯莱–哈密顿定理也是计算特征向量的重要工具。

:一般而言,若 矩阵 可逆(即: ),则 可以写成 的幂次和:特征多项式有如下形式

 

将方程式 同乘以 ,便得到

 

定理证明

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以下考虑布于 上的矩阵。

凯莱–哈密顿定理可以视为线性代数拉普拉斯展开的推论。拉普拉斯展开可推出若  矩阵,而 表其伴随矩阵,则

 

 ,便得到 。此式对所有 皆成立,由于实数复数域有无穷多元素,上式等式在多项式环 内成立。

 ,矩阵 赋予 一个 -结构: 。考虑 -模 ,我们有 -模之间的“求值态射”:

 

固定 ,对 中的等式

 

右侧取 后得到 ,左侧取 后得到 。明所欲证。

另外一个简单的证明
令:

 

由:

 

得:

 
 
 

因两多项式,他们的对应项系数相等得:

 

在等式两边t的i次项系数分别乘以Ai, 并将等式左右两边分别相加并合项得:

 

得证。

抽象化与推广

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前述证明用到系数在 的矩阵的克莱姆法则,事实上该法则可施于任何系数在交换环上的矩阵。借此,凯莱–哈密顿定理可以推广到一个交换环 上的任何有限生成自由模 (向量空间是特例)。中山正引理的一种证明就用到这个技巧。

外部链接

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