凯莱–哈密顿定理

在线性代数中，凯莱–哈密顿定理（英语：Cayley–Hamilton theorem）（以数学家阿瑟·凯莱与威廉·卢云·哈密顿命名）表明每个布于任何交换环上的实或复方阵都满足其特征方程式。

明确地说：设$A$为给定的$n\times n$矩阵，并设$I_{n}$为$n\times n$单位矩阵，则$A$的特征多项式定义为：

$p(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)$

其中$\det$表行列式函数。凯莱–哈密顿定理断言：

$p(A)=O$

凯莱–哈密顿定理等价于方阵的特征多项式会被其极小多项式整除，这在寻找若尔当标准形时特别有用。

例子

举例明之，考虑下述方阵：

$A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}$

其特征多项式为

$p(\lambda )={\begin{vmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{vmatrix}}=(\lambda -1)(\lambda -4)-2\cdot 3=\lambda ^{2}-5\lambda -2$

此时可以直接验证凯莱–哈密顿定理：

$A^{2}-5A-2I_{2}=O$

此式可以简化高次幂的运算，关键在于下述关系：

$A^{2}-5A-2I_{2}=O$

$A^{2}=5A+2I_{2}$

例如，为了计算$A^{4}$，可以反复利用上述关系式：

$A^{3}=(5A+2I_{2})A=5A^{2}+2A=5(5A+2I_{2})+2A=27A+10I_{2}$

$A^{4}=A^{3}A=(27A+10I_{2})A=27A^{2}+10A=27(5A+2I_{2})+10A$

$A^{4}=145A+54I_{2}$

或是，如果要计算$A^{n}$，也可以假设：

$A^{n}=aA+bI$

然后，依照前面的特征多项式$\lambda ^{2}-5\lambda -2$之两解$\lambda _{1},\lambda _{2}$，代入后可以得到

$\lambda _{1}^{n}=a\lambda _{1}+b$

$\lambda _{2}^{n}=a\lambda _{2}+b$

然后解方程后求出$a,b$，便可得$A^{n}$。

此外，凯莱–哈密顿定理也是计算特征向量的重要工具。

注：一般而言，若$n\times n$矩阵$A$可逆（即：$\det(A)\neq 0$），则$A^{-1}$可以写成$A$的幂次和：特征多项式有如下形式

$p(\lambda )=\lambda ^{n}-\operatorname {tr} (A)\lambda ^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}\det(A)$

将方程式$p(A)=0$同乘以$A^{-1}$，便得到

$A^{-1}={\frac {(-1)^{n-1}}{\det(A)}}(A^{n-1}-\operatorname {tr} (A)A^{n-2}+\cdots )$

定理证明

以下考虑布于域$k=\mathbb {R} ,\mathbb {C}$上的矩阵。

凯莱–哈密顿定理可以视为线性代数中拉普拉斯展开的推论。拉普拉斯展开可推出若$S$是$n\times n$矩阵，而$\operatorname {adj} (S)$表其伴随矩阵，则

$S\operatorname {adj} (S)=\det(S)I_{n}$

取$S=tI_{n}-A$，便得到$(tI_{n}-A)\operatorname {adj} (tI_{n}-A)=p_{A}(t)I_{n}$。此式对所有$t$皆成立，由于实数或复数域有无穷多元素，上式等式在多项式环$k[t]$内成立。

设$M:=k^{n}$，矩阵$A$赋予$M$一个$k[t]$-模结构：$f(t)\cdot m=f(A)m$。考虑$k[t]$-模$M[t]:=M\otimes _{k}k[t]$，我们有$k[t]$-模之间的“求值态射”：

$e_{A}:M[t]\to M,\qquad M\otimes t^{i}\mapsto A^{i}m$

固定$m\in M$，对$M[t]$中的等式

$(tI_{n}-A)\operatorname {adj} (tI_{n}-A)\,m=p_{A}(t)m$

右侧取$e_{A}$后得到$p_{A}(A)m$，左侧取$e_{A}$后得到$(A-A)\cdot (\cdots )=0$。明所欲证。

另外一个简单的证明：
令：

$B={\mbox{adj}}(tI_{n}-A)$

由:

$S\operatorname {adj} (S)=\det(S)I_{n}$

得：

$(tI_{n}-A)B=\det(tI_{n}-A)I_{n}=p(t)I_{n}$

${\begin{aligned}p(t)I_{n}&=(tI_{n}-A)B\\&=(tI_{n}-A)\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}B_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}tI_{n}\cdot t^{i}B_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}A\cdot t^{i}B_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}t^{i+1}B_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}AB_{i}\\&=t^{n}B_{n-1}+\sum _{i=1}^{n-1}t^{i}(B_{i-1}-AB_{i})-AB_{0}\end{aligned}}$

$p(t)I_{n}=\det(tI_{n}-A)I_{n}=t^{n}I_{n}+t^{n-1}c_{n-1}I_{n}+\cdots +tc_{1}I_{n}+c_{0}I_{n}$

因两多项式，他们的对应项系数相等得：

$B_{n-1}=I_{n},\qquad B_{i-1}-AB_{i}=c_{i}I_{n}\quad {\text{for }}1\leq i\leq n-1,\qquad -AB_{0}=c_{0}I_{n}~$

在等式两边t的i次项系数分别乘以Aⁱ, 并将等式左右两边分别相加并合项得：

$O=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I_{n}=p(A)$

得证。

抽象化与推广

前述证明用到系数在$k[t]$的矩阵的克莱姆法则，事实上该法则可施于任何系数在交换环上的矩阵。借此，凯莱–哈密顿定理可以推广到一个交换环$R$上的任何有限生成自由模$M$（向量空间是特例）。中山正引理的一种证明就用到这个技巧。

外部链接

• PlanetMath 上的证明（页面存档备份，存于互联网档案馆）