以下考慮佈於域 上的矩陣。
凱萊–哈密頓定理可以視為線性代數中拉普拉斯展開的推論。拉普拉斯展開可推出若 是 矩陣,而 表其伴隨矩陣,則
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取 ,便得到 。此式對所有 皆成立,由於實數或複數域有無窮多元素,上式等式在多項式環 內成立。
設 ,矩陣 賦予 一個 -模結構: 。考慮 -模 ,我們有 -模之間的「求值態射」:
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固定 ,對 中的等式
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右側取 後得到 ,左側取 後得到 。明所欲證。
另外一個簡單的證明:
令:
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由:
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得:
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因兩多項式,他們的對應項係數相等得:
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在等式兩邊t的i次項係數分別乘以Ai, 並將等式左右兩邊分別相加併合項得:
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得證。