函数方程是含有未知函数的方程。函数方程可以有一个解，可以无解，也可以有多个解，甚至可以有无穷多个解。
的解是伽玛函数。
函数方程与代数方程、微分方程不同，并没有普遍的解法。所以这个分支也没能发展起来。如上述的解为Gamma函数和初等函数的方程的解法完全不同。
对于二元函数方程，对其变量赋予特殊值的做法较多。
例子：解函数方程 f ( x + y ) 2 = f ( x ) 2 + f ( y ) 2 {\displaystyle f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}} 。
设 x = y = 0 {\displaystyle x=y=0} ： f ( 0 ) 2 = f ( 0 ) 2 + f ( 0 ) 2 {\displaystyle f(0)^{2}=f(0)^{2}+f(0)^{2}} 。所以 f ( 0 ) 2 = 0 {\displaystyle f(0)^{2}=0} ， f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} 。
现在，设 y = − x {\displaystyle y=-x} ：
由于实数的平方非负，以及两个非负数的和为零当且仅当两个数都为零，因此对于所有x， f ( x ) 2 = 0 {\displaystyle f(x)^{2}=0} ，所以 f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} 是唯一的解。
的解是所有指数函数。
的解是所有对数函数。
(柯西函数方程)
(庞加莱方程)
(琴生)
(达朗贝尔)
（阿贝尔方程）。
