分式环

在抽象代数中，分式环或分式域是包含一个整环的最小域，典型的例子是有理数域之于整数环。此外分式环也可以推广到一般的交换环，此时通常称作全分式环。

分式环有时也被称为商域，但此用语易与商环混淆。

构造

分式环是局部化的一个简单特例。以下设 $R$ 为一个整环，而 $S:=R-\{0\}$。

在集合 $R\times S$ 上定义下述等价关系 $\sim$：

$(r,s)\sim (r',s')\iff rs'-r's=0$

等价类 $[r,s]$ 可以想成“分式” $r/s$，上述等价关系无非是推广有理数的通分；借此类比，在商集 $(R\times S)/\sim$ 上定义加法与乘法为：

$[r,s]+[r',s']=[rs'+r's,ss']$

$[r,s][r',s']=[rr',ss']$

可验证上述运算是明确定义的。此外还有环同态 $R\rightarrow (R\times S)/\sim$，定义为 $r\mapsto [r,1]$；这是一个单射。于是可定义分式环 $T(R):=(R\times S)/\sim$，再配上上述的加法与乘法运算。在实践上，我们常迳将 $T(R)$ 里的元素写作分式 $r/s$。

泛性质

整环 $R$ 的分式环 $K(R)$ 及其自然环同态 $R\rightarrow K(R)$ 满足以下的泛性质：

对任何环 $T$ 及环同态 $\phi :R\rightarrow T$，若 $R-\{0\}$ 中的元素在 $\phi$ 下的像皆可逆，则存在唯一的环同态 $\psi :K(R)\rightarrow T$，使得 $\phi$ 是 $R\rightarrow K(R)$ 与 $\psi$ 的合成。

此性质不外是形式地表达了“K(R) 是包含 R 的最小的域”这个陈述。据此泛性质可形式地证明：任何一组资料 $(K,\phi :R\rightarrow T)$ 若使得 $K-\{0\}$ 中的元素在 $\phi$ 下的像皆可逆，且满足上述泛性质，则 $K$ 必与 $T(R)$ 同构。

例子

• 有理数域 $\mathbb {Q}$ 是整数环 $\mathbb {Z}$ 的分式环。
• 有理函数域是多项式环的分式环
• 代数数域是代数整数环的分式环。
• 在一个连通复流形上，亚纯函数域是全纯函数环的分式环。

推广

更多信息：局部化

对于一般的交换环 $R$（容许有零因子），分式环是一种退而求其次的建构：我们想找使 $R\rightarrow S^{-1}R$ 为单射的“最大”局部化，详述如下：

设 $S$ 为 $R$ 中的非零因子所成子集，它是个积性子集，因此可对之作局部化。令 $T(R):=S^{-1}R$，此时 $T(R)$ 常被称作 $R$ 的全分式环。