卡茨-穆迪代数

卡茨-穆迪代数是一个李代数，通常无限维，其定义自（Victor Kac所谓的）广义根系。卡茨-穆迪代数的应用遍及数学和理论物理学。

定义

假定以下材料：

$C=(c_{ij})$ ——一个r阶广义嘉当矩阵(generalised Cartan matrix) $C=(c_{ij})$ r.
${\mathfrak {h}}$ ———— 一个 2n − r维复向量空间 ${\mathfrak {h}}$ .
${\mathfrak {h}}^{*}$ ———— ${\mathfrak {h}}$ 的对偶空间
$\alpha _{i}\$ ———— ${\mathfrak {h}}$ 中 n 枚相互独立的元，称为对偶根(co-root)
$\alpha _{i}^{*}$ ———— ${\mathfrak {h}}^{*}$ 中n 枚线性相互独立的元 ,称为根(root)
上述各元满足 $\alpha _{i}^{*}(\alpha _{j})=c_{ij}$ .

卡茨-穆迪代数 ${\mathfrak {g}}$ 由符号 $e_{i}$ , $f_{i}$ (i=1,..,n) 及空间 ${\mathfrak {h}}$ 生成：

以上各元满足以下关系：

$[e_{i},f_{i}]=\alpha _{i}.\$
$[e_{i},f_{j}]=0\$ ；其中 $i\neq j.$
$[e_{i},x]=\alpha _{i}^{*}(x)e_{i}$ , 其中 $x\in {\mathfrak {h}}.$
$[f_{i},x]=-\alpha _{i}^{*}(x)f_{i}$ , 其中 $x\in {\mathfrak {h}}.$
$[x,x']=0\$ ；其中 $x,x'\in {\mathfrak {h}}.$
$[e_{i},[e_{i},\ldots ,[e_{i},e_{j}]]]={\mathcal {C}}_{e_{i}}^{1-c_{ij}}\;e_{j}=0$ ;其中 $e_{i}.\$ 出现 $1-c_{ij}\$ 次;
$[f_{i},[f_{i},\ldots ,[f_{i},f_{j}]]]={\mathcal {C}}_{f_{i}}^{1-c_{ij}}\;f_{j}=0$ ;其中 $f_{i}.\$ 出现 $1-c_{ij}\$ 次;

(其中 ${\mathcal {C}}_{x}\;y=[x,y]$ .)

一个实(维数可以无限)李代数亦可称为 Kac–Moody代数，若其复化是个 Kac–Moody代数.

释义

${\mathfrak {h}}$ 是此卡茨-穆迪代数的一嘉当子代数。
若 g 是 Kac–Moody 代数的一元，使得

\forall x\in {\mathfrak {h}}\,[g,x]=\omega (x)g

其中 ω 是 ${\mathfrak {h}}^{*}$ 的一元，

则称g 为权(weight) ω的. 我们可分解一Kac–Moody 代数成其幂空间，则嘉当子代数 ${\mathfrak {h}}$ 的幂为零，e_i的幂为α*_i，而f_i的幂为−α*_i。若二幂特征向量的李括号非零，则其幂是二幂之和。（若 $i\neq j$ ) 则 $[e_{i},f_{j}]=0\$ 一条件即指 α*_i 都是简单根。

分类

我们可分解广义嘉当矩阵 C 成矩阵积 DS, 其中 D 是正对角矩阵, S 是对称矩阵。然则有三种可能:

${\mathfrak {g}}$ 有限维单李代数 (S 正定)
${\mathfrak {g}}$ 是仿射李代数 (S 正半定)
双曲 (S 不定)

S 不可能负定或负半定因其对角元皆正.

参见

参考

<<Infinite-Dimensional Lie Algebras>>, Victor Kac, Cambridge University Press
Encyclopaedia of Mathematics, Springer On-line References （页面存档备份，存于互联网档案馆）