双边拉普拉斯变换

双边拉普拉斯变换是一种积分变换，其形式类似机率中的动差生成函数，双边拉普拉斯变换和傅立叶变换、梅林变换及单边的拉普拉斯变换有紧密的关系。若ƒ(t)为实数t的实数函数或是复变函数，t可以为任意实数，则双边拉普拉斯变换可以用以下的积分表示：

${\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

此积分为反常积分，此积分收敛若且唯若以下二个积分

$\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt,\quad \int _{-\infty }^{0}e^{-st}f(t)\,dt$

都存在。双边拉普拉斯变换没有一个广为大家接受的表示方式，此处用的符号是${\mathcal {B}}$，表示双向（bilateral），有些作者会用以下的式子来表示：

${\mathcal {T}}\left\{f(t)\right\}=s{\mathcal {B}}\left\{f\right\}=sF(s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

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