雙邊拉普拉斯變換

雙邊拉普拉斯變換是一種積分變換，其形式類似概率中的動差生成函數，雙邊拉普拉斯變換和傅立葉變換、梅林變換及單邊的拉普拉斯變換有緊密的關係。若ƒ(t)為實數t的實數函數或是複變函數，t可以為任意實數，則雙邊拉普拉斯變換可以用以下的積分表示：

${\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

此積分為反常積分，此積分收斂若且唯若以下二個積分

$\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt,\quad \int _{-\infty }^{0}e^{-st}f(t)\,dt$

都存在。雙邊拉普拉斯變換沒有一個廣為大家接受的表示方式，此處用的符號是${\mathcal {B}}$，表示雙向（bilateral），有些作者會用以下的式子來表示：

${\mathcal {T}}\left\{f(t)\right\}=s{\mathcal {B}}\left\{f\right\}=sF(s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

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