双重梅森数

双重梅森数（英语：double Mersenne number）是指可以用以下形式表示的梅森数：

$M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1$

其中n为正整数。

双重梅森数的数列如下

$M_{M_{1}}=M_{1}=1$

$M_{M_{2}}=M_{3}=7$

$M_{M_{3}}=M_{7}=127$

$M_{M_{4}}=M_{15}=32767$

$M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647$ （OEIS数列A077585）

双重梅森数的2倍加3是费马数。

双重梅森质数

若双重梅森数本身也是质数，则称为双重梅森质数。由于梅森数M_p为质数的必要条件是p为质数，因此双重梅森数$M_{M_{p}}$为质数的必要条件是$M_{p}$为梅森质数。

头几个双重梅森质数如下：

$M_{M_{2}}=M_{3}=7$

$M_{M_{3}}=M_{7}=127$

$M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647$

$M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727$ （OEIS数列A077586）.

头几个使M_p为质数的p值为p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127（OEIS数列A000043）。在p为2, 3, 5, 7时，$M_{M_{p}}$为质数，但在p = 13, 17, 19及31时，$M_{M_{p}}$不是质数，下一个双重梅森数$M_{M_{61}}$还不确定是否是质数，其数值为2^{2305843009213693951} − 1，大约是1.695×10^{694127911065419641}，目前已知的素性测试无法处理这么大的数字，已知在小于4×10³³的整数中，没有$M_{M_{61}}$的质因数。可能除了上述的四个双重梅森质数外，不存在其他的双重梅森质数。。

和大众娱乐的关系

在乃出个未来电影版《The Beast with a Billion Backs》中，双重梅森数$M_{M_{7}}$出现在“哥德巴赫猜想的大略证明”中，其中该数字被称为“火星素数”（martian prime）。

相关条目

• 完全数
• 费马数
• 韦伊费列治素数
• 双重指数

延伸阅读

• Dickson, L. E., History of the Theory of Numbers, New York: Chelsea Publishing, 1971 [1919] .

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Double Mersenne Number. MathWorld. 
• Tony Forbes, A search for a factor of MM61（页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Status of the factorization of double Mersenne numbers
• Double Mersennes Prime Search（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Operazione Doppi Mersennes（页面存档备份，存于互联网档案馆）