雙重梅森數

雙重梅森數（英語：double Mersenne number）是指可以用以下形式表示的梅森數：

$M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1$

其中n為正整數。

雙重梅森數的數列如下

$M_{M_{1}}=M_{1}=1$

$M_{M_{2}}=M_{3}=7$

$M_{M_{3}}=M_{7}=127$

$M_{M_{4}}=M_{15}=32767$

$M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647$ （OEIS數列A077585）

雙重梅森數的2倍加3是費馬數。

雙重梅森質數

若雙重梅森數本身也是質數，則稱為雙重梅森質數。由於梅森數M_p為質數的必要條件是p為質數，因此雙重梅森數$M_{M_{p}}$為質數的必要條件是$M_{p}$為梅森質數。

頭幾個雙重梅森質數如下：

$M_{M_{2}}=M_{3}=7$

$M_{M_{3}}=M_{7}=127$

$M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647$

$M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727$ （OEIS數列A077586）.

頭幾個使M_p為質數的p值為p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127（OEIS數列A000043）。在p為2, 3, 5, 7時，$M_{M_{p}}$為質數，但在p = 13, 17, 19及31時，$M_{M_{p}}$不是質數，下一個雙重梅森數$M_{M_{61}}$還不確定是否是質數，其數值為2^{2305843009213693951} − 1，大約是1.695×10^{694127911065419641}，目前已知的素性測試無法處理這麼大的數字，已知在小於4×10³³的整數中，沒有$M_{M_{61}}$的質因數。可能除了上述的四個雙重梅森質數外，不存在其他的雙重梅森質數。。

和大眾娛樂的關係

在乃出個未來電影版《The Beast with a Billion Backs》中，雙重梅森數$M_{M_{7}}$出現在「哥德巴赫猜想的大略證明」中，其中該數字被稱為「火星素數」（martian prime）。

相關條目

• 完全數
• 費馬數
• 韋伊費列治素數
• 雙重指數

延伸閱讀

• Dickson, L. E., History of the Theory of Numbers, New York: Chelsea Publishing, 1971 [1919] .

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Double Mersenne Number. MathWorld. 
• Tony Forbes, A search for a factor of MM61（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
• Status of the factorization of double Mersenne numbers
• Double Mersennes Prime Search（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Operazione Doppi Mersennes（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）