圆幂定理

圆幂定理（英语：circle power theorem），是平面几何中的一个定理。这定理指出，给定一个圆 Γ 以及一点 P，从该点引出两条割线，分别与 Γ 相交于 A、B 以及 C、D，则有

${\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}={\overline {PC}}\cdot {\overline {PD}}$

这个乘积，是 P 对于 Γ 的圆幂（英语：circle power），故定理以此为名。

圆幂定义

在图中，O 是圆心，OA = OT 是半径 r（蓝色），OP 是点到圆心的距离 s（橙色），PT 是切线（红色），PMN 是割线（黑色）。

平面上任意一点 P ，以及半径为 r 、圆心为 O 的圆，则定义圆幂 h 为：

$h=OP^{2}-r^{2}$。

从这个定义可知，若 P 在圆内，则圆幂为负数；若 P 在圆外，则圆幂为正数；若 P 在圆周上，则有圆幂等于零。

圆幂又可等价地定义为：从该点穿过圆心的割线，与圆所作的两个交点，与该点距离的乘积。也就是说：

$h={\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}$ 。

理由如下：

${\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}=(s-r)(s+r)=s^{2}-r^{2}=h$。

变体

圆幂定理有三个变体，分别是“相交弦定理”、“割线定理”及“切割线定理”。

相交弦定理

在图中，圆心为 O，圆上有两弦 AB 及 CD，相交于 E

设有一圆，圆上有两条弦 AB 及 CD，它们相交于 E，则有

${\overline {EA}}\cdot {\overline {EB}}={\overline {EC}}\cdot {\overline {ED}}$

这个乘积，是 E 的圆幂的相反数 −h。这是因为圆幂为非正数，而线段的乘积为正数。

割线定理

设有一圆，圆外有一点 P，引出两条割线，分别与圆相交于 A、B 以及 M、N，则有

${\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}={\overline {PM}}\cdot {\overline {PN}}$

这个乘积，是 P 的圆幂 h。

切割线定理

设有一圆，圆外有一点 P，引出一条割线，与圆相交于 A、B ，又引出一条切线，与圆相切于 T，则有

${\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}={\overline {PT}}^{2}$

这个乘积，同样是 P 的圆幂 h。

证明

相交弦定理

从同弓形内圆周角的性质可知，ΔAED 与 ΔCEB 是相似三角形，因此

${\frac {EA}{EC}}={\frac {ED}{EB}}$

整理可得

$EA\cdot EB=EC\cdot ED$

证明完毕。

割线定理

从同弓形内圆周角的性质可知，ΔPAM 与 ΔPNB 是相似三角形，因此

${\frac {PA}{PM}}={\frac {PN}{PB}}$

整理可得

$PA\cdot PB=PM\cdot PN$

证明完毕。

切割线定理

从内错弓形圆周角的性质可知，ΔPAT 与 ΔPTB 是相似三角形，因此

${\frac {PA}{PT}}={\frac {PT}{PB}}$

整理可得

$PA\cdot PB={PT}^{2}$

证明完毕。

参见

• 根轴——到两圆圆幂相等的点的轨迹