在抽象代数中,体(德语:Körper,英语:Field)是一种具有加法跟乘法的集合(代数结构),且其加法跟乘法运算就如同普通的有理数还有实数。事实上,体正是数域以及四则运算的推广,所以被广泛运用在代数、数论等数学领域中。
体是环的一种。但区别在于域要求它的非零元素可以做除法,且体的乘法有交换律。
最有名的体结构的例子就是有理数体、实数体还有复数体。还有其他形式的体,例如有理函数体、代数函数体、代数数体、p进数体等,都很常在数学的领域中被使用或是研究,特别是数论或是代数几何。此外还有一些密码学上的安全协定都是依靠著有限体。
在两个体中的关系被表示成体扩张的观念。Galois理论,由ÉvaristeGalois在1830年代提出,致力于理解体扩展的对称性。其中Galois理论还有其他结果,解决了不能用尺规作图做出三等份角以及化方为圆的问题。此外,还解决了五次方程不能有公式解的问题。
给定集合 ,它具有了以下两种二元运算:
- (其中 惯例上简记为 )
- (其中 惯例上简记为 或 甚至是 )
满足:
- 为交换群,且其单位元为 。
- 为交换群。
- 分配律:对所有 , 且 。
那称“ 为体”,当二元运算的符号不重要时,亦可将 简记为 。
(1)体的代号:
有时会基于德语 Körper ,以字母 代称体,但也会基于英语 Field 以 代称。
(2)加法与乘法:
习惯上, 被称为乘法, 的单位元会记为 ,并称为 的乘法单位元。
类似地, 被称为加法, 被称为体的加法单位元。所以在省略括弧后,仍依照先乘后加的方式阅读。
(3)减法与除法:
对于任意 ,会依据群的习惯,将 的加法逆元素记做 ,并将 简记为 ,并可昵称为减法。
类似地,若 , 的乘法逆元素记做 ,并将 简记为 ,并可昵称为除法。
证明
根据分配律和加法单位元的性质会有
-
-
这样的话,根据加法结合律还有加法单位元的性质有
故得证。
以上的定理也证明了,只要 为交换群且有分配律,就足以决定 相关乘法的值。所以正式定义中把 排除在乘法的交换群之外是不会有问题的。也就是说
系理 (乘法结合律) — 为体,那对任意 有
-
证明
根据乘法交换律跟分配律有
这样根据定理(1)和加法交换律就有
-
所以
-
再考虑到乘法的交换律有
-
故得证。
证明
根据乘法的结合律和交换律,还有乘法单位元的性质会有
故得证。
证明
如果 ,那对任意 都有 ,所以以下只考虑 状况。
假设存在 满足 和 ,但同时 ,这样根据定理(1)和(3)有
这显然是矛盾的,所以根据反证法和德摩根定理,对所有的 ,只能“ 其中一者为 ”或“ ”,也就等价于:
- “对所有 ,若 则 其中一者为 。”
故得证。
- 域F中的所有非零元素的集合(一般记作F×)是一个关于乘法的阿贝尔群。F×的每个有限子群都是循环群。
- 若存在正整数n使得0 = 1 + 1 + ... + 1(n个1),那么这样的n中最小的一个称为这个域的特征,特征要么是一个素数p,要么是0(表示这样的n不存在)。此时 中最小的子域分别是 或有限域 ,称之为 的素域。
- 一个交换环是域当且仅当它的理想只有自身和零理想。
- 在选择公理成立的假设下,对每个域F都存在着唯一的一个域G(在同构意义上),G包含F,G是F的代数扩张,并且G代数封闭。G称作由F确定的代数闭包。在很多情况下上述的同构并不是唯一的,因此又说G是F的一个代数闭包。
- 许多常见的数域都是域。比如说,全体复数的集合 与其加法和乘法构成一个域。全体有理数的集合 与其加法和乘法也是一个域,它是 的子域,并且不包含更小的子域了。
- 代数数域:代数数域是有理数域 的有限扩域,也就是说代数数域是 上的有限维向量空间。代数数域都同构于 的子域,并且这个同构保持 不变,即这个同构把每个有理数都映射到它自身。代数数域是代数数论研究的对象。
- 代数数构成的域:所有的代数数的集合对于加法和乘法构成一个域,记作 。 是有理数域 的代数闭包(见下)。 是特征为零的代数封闭的域的一个例子。
- 全体实数的集合 对于加法和乘法构成一个域。实数域是复数域 的子域,也是一个有序域。后者使得实数域上能够建立起微积分理论。
- 所有的实代数数的集合也构成一个域,它是 的一个子域
- 任意一个有限域的元素个数是一个素数q的乘方,一般记作Fq,就是所谓的伽罗瓦域。任意一个元素个数是素数q的域都同构于Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1}。令p = 2,就得到最小的域:F2。F2只含有两个元素0和1,运算法则如下:
-
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0
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1
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0
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0
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1
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0
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0
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1
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- 设E和F是两个域,E是F的子域,则F是E的 扩域。设x是F中的一个元素,则存在着一个最小的同时包含E和x的F的子域,记作E (x),E (x)称作E在F中关于 x的单扩张。比如说,复数域 就是实数域 在 中关于虚数单位i的单扩张
- 每一个有乘法么元的环R都对应着一个包含它的域,称为它的分式域,记作K(R)。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类,再将环“嵌入”其中(详见分式域)。可以证明,K(R)是包含R的“最小”的域。
- 设F是一个域,定义F (X)是所有以F中元素为系数的分式的集合,则F (X)是F的一个扩域。F (X)是F上的一个无穷维的向量空间,这是域的超越扩张的一个例子。
- 设F是一个域,p(X)是多项式环F[X]上的一个不可约多项式,则商环F[X]/<p(X)>是一个域。其中的<p(X)>表示由p(X)生成的理想。举例来说,R[X]/<X2 + 1>是一个域(同构于复数域 )。可以证明,F的所有单扩张都同构于此类形式的域。
- 若V是域F上的一个代数簇,则所有V → F 的有理函数构成一个域,称为V的函数域。
- 若S是一个黎曼曲面,则全体S → C 的亚纯函数构成一个域。
- 由于序数的类不是集合,因此在其上定义的尼姆数不能构成真正的域。但它满足域的所有条件,且其任意封闭子集(如小于 的所有自然数构成的子集)都是域。
有限体是一个体有著有限多个元素,其元素个数也跟体的阶数相同,按照体的定义,可以知道 为最小的有限体,因为根据定义,一个体至少包含两个元素 。
通常来说,最简单的质数阶体,就是 ,此处 为质数,在这个体上的加法与乘法等同于在整数 上的运算,然后除以 ,取它的馀数。这个运算精确的建构了一个体,通常我们将这个体记作 。要注意的是 ,当n为合成数时并不是一个有限体,例如在 中 ,因此 不能形成群。
如果我们将向量空间 ,则我们将V称作有限体向量空间,其中 ,可知这个向量空间中,有 个元素。
如果我们将有限体放入矩阵,也就是 ,则此矩阵的元素有
历史上,三个代数中的学科导引到了体的概念:第一个是解多项式方程的问题,第二个是代数数论,第三个则是代数几何的问题。体的概念始于1770年,由拉格朗日所提出。拉格朗日他观察到关于三次方程的根x1, x2, x3的置换,在以下的表达
(x1 + ωx2 + ω2x3)3
(其中ω是三次方程的单位根)只产生两个值。在这方向上,拉格朗日概念上的解释了由 希皮奥内·德尔·费罗 和 弗朗索瓦·韦达 的经典解法,其解法借由简化三次方程关于未知 x 到一个 x3的二次方程。四次方程上也和三次方程一样有相似的观察,拉格朗日因此连结的关于体的概念还有群的概念。数学家范德蒙也同样在1770年有著更全面的延伸。