塑胶数或银数是一元三次方程 x 3 = x + 1 {\displaystyle x^{3}=x+1\,} 的唯一一个实数根，其值为
约等于 1.3247179572447460259609 {\displaystyle 1.3247179572447460259609} （OEIS数列A060006）。
塑胶数对于佩兰数列和巴都万数列，就如黄金分割对于斐波那契数列——是两项的比的极限。它亦是最小的皮索数。
塑胶数是方程 x 3 = x + 1 {\displaystyle x^{3}=x+1\,} 的唯一实数根。
对于方程 x 3 = x + 1 {\displaystyle x^{3}=x+1\,} ，现将等式右边变为0，即
x 3 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{3}-x-1=0\,}
由勘根定理可判断出该实根大小介于1与2之间，设
x = λ y + y {\displaystyle x={\frac {\lambda }{y}}+y\,} ，
则
y = x 2 + 1 2 x 2 − 4 λ {\displaystyle y={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {x^{2}-4\lambda }}\,}
得到
− 1 − y − λ y + ( y + λ y ) 3 = 0 {\displaystyle -1-y-{\frac {\lambda }{y}}+\left(y+{\frac {\lambda }{y}}\right)^{3}=0\,}
等式两边同时乘 y 3 {\displaystyle y^{3}} 得
y 6 + y 4 ( 3 λ − 1 ) − y 3 + y 2 ( 3 λ 2 − λ ) + λ 3 = 0 {\displaystyle y^{6}+y^{4}\left(3\lambda -1\right)-y^{3}+y^{2}\left(3\lambda ^{2}-\lambda \right)+\lambda ^{3}=0\,}
令 λ = 1 3 {\displaystyle \lambda ={\frac {1}{3}}\,} ，将其带入上面方程，并设 z = y 3 {\displaystyle z=y^{3}\,} ，得到一个 z {\displaystyle z} 的二次方程
z 2 − z + 1 27 = 0 {\displaystyle z^{2}-z+{\frac {1}{27}}=0\,}
解得
z = 1 18 ( 9 + 69 ) {\displaystyle z={\frac {1}{18}}\left(9+{\sqrt {69}}\right)\,}
根据 z = y 3 {\displaystyle z=y^{3}\,} ，得
y 3 = 1 18 ( 9 + 69 ) {\displaystyle y^{3}={\frac {1}{18}}\left(9+{\sqrt {69}}\right)\,}
则 y {\displaystyle y} 有实数解
y = 1 2 + 1 6 23 3 3 {\displaystyle y={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}\,}
根据 y {\displaystyle y} 与 λ {\displaystyle \lambda } 的关系，得 y = x 2 + 1 2 x 2 − 4 3 {\displaystyle y={\tfrac {x}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {x^{2}-{\tfrac {4}{3}}}}\,} ，得 x {\displaystyle x} 的实数解
x = 1 2 + 1 6 23 3 3 + 1 2 − 1 6 23 3 3 {\displaystyle x={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}\,}
的唯一实数根。
，现将等式右边变为0，即
，
得
，将其带入上面方程，并设
，得到一个
的二次方程
，得
有实数解
![{\displaystyle y={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/672da28ad79785bb65717263f3b1c76a6c044eef)
与
的关系，得
，得
的实数解
![{\displaystyle x={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a7a77ad10f23c6e04c99a5441d35e713740e89)
A060006
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {9+{\sqrt {69}}}{18}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {9-{\sqrt {69}}}{18}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1816877ef2e344fbf8c9255d18f8a409012741a)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/632f36cfd2cc1e85c932d625257359ebf7ed3330)
