塞弗特-范坎彭定理

代数拓扑中的塞弗特－范坎彭（Seifert–van Kampen）定理，将一个拓扑空间的基本群，用覆盖这空间的两个开且路径连通的子空间的基本群来表示。

定理叙述

设$X$为拓扑空间，有两个开且路径连通的子空间$U_{1},U_{2}$覆盖$X$，即$X=U_{1}\cup U_{2}$，并且$U_{1}\cap U_{2}$是非空且路径连通。取$U_{1}\cap U_{2}$中的一点$x_{0}$为各空间的基本群的基点。那么从$U_{1}\cap U_{2}$到$U_{1}$及$U_{2}$的包含映射导出相应基本群的群同态：（以下省略基本群中的基点。）

$\phi _{1}:\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})\to \pi _{1}(U_{1})$

$\phi _{2}:\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})\to \pi _{1}(U_{2})$

塞弗特－范坎彭定理指出$X$的基本群，是$U_{1},U_{2}$的基本群的共合积：

$\pi _{1}(X)=\pi _{1}(U_{1})*_{\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})}\pi _{1}(U_{2})$

用范畴论来说，$\pi _{1}(X)$是在群范畴中图表

$\pi _{1}(U_{1})\leftarrow {\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})}\rightarrow \pi _{1}(U_{2})$

的推出。

这定理可以推广至$X$的任意多个开子空间的覆盖： 设

• $X$为路径连通拓扑空间，$x_{0}$为$X$的一点，
• $\{U_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }$由路径连通的开集组成，为$X$的开覆盖，
• 任何一个$U_{\lambda }$都有点$x_{0}$，
• 对任何$\lambda ,\mu \in \Lambda$，都有$\nu \in \Lambda$，使得$U_{\lambda }\cap U_{\mu }=U_{\nu }$。

当$U_{\lambda }\subset U_{\mu }$，令

$\phi _{\lambda \mu }:\pi _{1}(U_{\lambda })\to \pi _{1}(U_{\mu })$

为由包含所导出的群同态。又令

$\psi _{\lambda }:\pi _{1}(U_{\lambda })\to \pi _{1}(X)$

为由$U_{\lambda }\subset X$所导出的群同态。那么$\pi _{1}(X)$有下述的泛性质：

设$H$为群，对所有$\lambda \in \Lambda$有群同态$\rho _{\lambda }:\pi _{1}(U_{\lambda })\to H$，使得若$U_{\lambda }\subset U_{\mu }$，则

$\rho _{\mu }\circ \phi _{\lambda \mu }=\rho _{\lambda }$。

那么存在唯一的群同态$\sigma :\pi _{1}(X)\to H$，使得对所有$\lambda \in \Lambda$，都有

$\rho _{\lambda }=\sigma \circ \psi _{\lambda }$。

这个泛性质决定唯一的$\pi _{1}(X)$。（不别群同构之异。）

参考

• Massey, William. A Basic Course in Algebraic Topology. Graduate Texts in Mathematics 127. Springer-Verlag. 1991.