天文三角形

天文三角形（英语：Astronomical triangle），又称天文定位三角形，是指由观测者所在地平坐标处的子午圈，以及过某天体的时圈和垂直圈在天球上组成的球面三角形。^[1]该球面三角的顶点分别是天球的天极、天顶和该天体所在的位置。通过观测三角形的某些边的长度或角的大小，可以推出另外一些量的数值，这一过程体现了天文测量的基本原理。^[2]

天球坐标系的示意图，图中由P、Z、R组成的球面三角（图中灰色区域）即为天文三角形

数学表示

几何意义

天文定位三角形的三边具有一定的几何意义。假设该天体所在位置为 $b$ ，天顶为 $Z$ ，天极为 $P$ ，则三边与天文测量中的观测量分别具有如下关系：

${\overset {\frown }{Zb}}$ ，该弧段在垂直圈上，其弧距与天顶距 $z$ 相等，也即与垂直角 $h$ 的余角相等
${\overset {\frown }{Pb}}$ ，该弧段在时圈上，其弧距与赤纬 $\delta$ 的余角相等
${\overset {\frown }{PZ}}$ ，该弧段在子午圈上，其弧距与观测者所在地的天文纬度 $\varphi$ 的余角相等

另可人为定义出如下观测量：

$t=\sphericalangle {ZPb}$ ，其值为子午圈和时圈的交角
$A=-\sphericalangle {PZb}$ ，其值为垂直圈和子午圈的交角的相反数
$q=\sphericalangle {PbZ}$ ，其值为垂直圈和时圈的交角，该角又被称为星位角（英语：parallactic angle）

常用公式

天文定位三角形的各边、角可通过球面三角公式相互转换，其中常用的转换公式如：

$-\sin {z}\sin {A}=\cos {\delta }\sin {t}$
$\cos {z}=\sin {\varphi }\sin {\delta }+\cos {\varphi }\cos {\delta }\cos {t}$
$\sin {z}\cos {A}=\cos {\varphi }\sin {\delta }-\sin {\varphi }\cos {\delta }\cos {t}$

参考文献

^ Rufus, W. C. A graphical solution of the astronomical triangle. adsabs.harvard.edu. [2020-03-30] （英语）.
^ 孔祥元; 郭际明; 刘宗泉. 大地测量学基础. 武汉大学出版社. 2001: 251–252. ISBN 978-7-30-707562-7.

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