天文三角形

天文三角形（英語：Astronomical triangle），又稱天文定位三角形，是指由觀測者所在地平坐標處的子午圈，以及過某天體的時圈和垂直圈在天球上組成的球面三角形。^[1]該球面三角的頂點分別是天球的天極、天頂和該天體所在的位置。通過觀測三角形的某些邊的長度或角的大小，可以推出另外一些量的數值，這一過程體現了天文測量的基本原理。^[2]

天球坐標系的示意圖，圖中由P、Z、R組成的球面三角（圖中灰色區域）即為天文三角形

數學表示

幾何意義

天文定位三角形的三邊具有一定的幾何意義。假設該天體所在位置為 $b$ ，天頂為 $Z$ ，天極為 $P$ ，則三邊與天文測量中的觀測量分別具有如下關係：

${\overset {\frown }{Zb}}$ ，該弧段在垂直圈上，其弧距與天頂距 $z$ 相等，也即與垂直角 $h$ 的餘角相等
${\overset {\frown }{Pb}}$ ，該弧段在時圈上，其弧距與赤緯 $\delta$ 的餘角相等
${\overset {\frown }{PZ}}$ ，該弧段在子午圈上，其弧距與觀測者所在地的天文緯度 $\varphi$ 的餘角相等

另可人為定義出如下觀測量：

$t=\sphericalangle {ZPb}$ ，其值為子午圈和時圈的交角
$A=-\sphericalangle {PZb}$ ，其值為垂直圈和子午圈的交角的相反數
$q=\sphericalangle {PbZ}$ ，其值為垂直圈和時圈的交角，該角又被稱為星位角（英語：parallactic angle）

常用公式

天文定位三角形的各邊、角可通過球面三角公式相互轉換，其中常用的轉換公式如：

$-\sin {z}\sin {A}=\cos {\delta }\sin {t}$
$\cos {z}=\sin {\varphi }\sin {\delta }+\cos {\varphi }\cos {\delta }\cos {t}$
$\sin {z}\cos {A}=\cos {\varphi }\sin {\delta }-\sin {\varphi }\cos {\delta }\cos {t}$

參考文獻

^ Rufus, W. C. A graphical solution of the astronomical triangle. adsabs.harvard.edu. [2020-03-30] （英語）.
^ 孔祥元; 郭際明; 劉宗泉. 大地测量学基础. 武漢大學出版社. 2001: 251–252. ISBN 978-7-30-707562-7.

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