失踪的正方形

失踪的正方形谜题是一种数学上的视错觉,有助于学生对几何图形的思考。它描述两种面积板块形状组合,每个不同颜色多边形部分,看似都构成一个原底方格所绘的13X5直角三角形之一部分,不同的差异是重新组合排列后,其中一个里头相差了似乎1个1x1的孔。

解释

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根据美国业馀数学大师马丁·加德纳指出,本谜题是在1953年是由纽约市业馀魔术师保罗·嘉理(Paul Curry)发明的。不过裁切悖论的原理自从1860年代就已为数学家所知了。

这谜题的关键是两个分割三角形,看似“13x5的直角三角形”的两部分,但实际上只是因为误差小到令视觉看起来并无差异,这组出来的“13x5的直角三角形”,其实是凹斜边三角形与凸斜边三角形,目测不容易察觉到红色和蓝色三角形斜边的斜率有差别(其构成的夹角约为178°45′,接近却不是平角)。 因此误以为两个组合成的图形,皆是外围大直角三角形,所取斜边分割的两部分。

四个图形(黄色、红色、蓝色和绿色图形)总共占32个单位面积,但是外面总“三角形”是宽13高5,合计32.5单位。蓝色三角形长宽比为5:2,红色三角则是8:3,并不是同一个长宽比。因此在每个图中外观上加成后的“斜边”实际上缩短了。

总共缩短的长度大约是一单位的28分之一,这在此谜题示例图上很难以看出。注意在蓝色红色斜边交界处的网格点,如果将它与另一张图的对应交界点比较,边缘稍稍溢出或者低于格点。来自两张图重叠后溢出的斜边导致一个非常细微的平行四边形,占据了刚好一格大小的面积,恰恰是第二张图“消失”的区域。

变种

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消失的小正方形谜题
 
森姆·莱特的悖论裁切
 
8乘以21版本,角ABC约等于179°31′,近乎平角而不是平角

本谜题另类且较简单的版本(在动画里显示)使用四个相等的四边形以及一个小正方形,则组成一个较大的正方形。当四边形绕著其中心旋转,中间的小正方形将被填满,即使该图的总面积看起来没有变动。这外表上的悖论可由新形成的方形四边较原来的小了一点。如果   代表大正方形的四边和,且  是每个四边形相对边间的夹角,那两个旋转前旋转后方块面积间相除的商结果是 。对于 ,结果大约是1.00765,故对应的差异大约0.8%。

外部链接

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