微积分基本定理

定理

微积分基本定理(英语:Fundamental theorem of calculus)描述了微积分的两个主要运算──微分积分之间的关系。

定理的第一部分,称为微积分第一基本定理,此定理表明:给定任一连续函数,可以(利用积分)构造出该函数的反导函数。这一部分定理的重要之处在于它保证了连续函数反导函数的存在性。

定理的第二部分,称为微积分第二基本定理牛顿-莱布尼茨公式,表明某函数的定积分可以用该函数的任意一个反导函数来计算。这一部分是微积分或数学分析中相当关键且应用很广的一个定理,因为它大大简化了定积分的计算。[1]

该定理的一个特殊形式,首先由詹姆斯·格里高利(1638-1675)证明和出版。[2]定理的一般形式,则由艾萨克·巴罗完成证明。

对微积分基本定理比较直观的理解是:把函数在一段区间的“无穷小变化”全部“加起来”,会等于该函数的净变化,这里“无穷小变化”就是微分,“加起来”就是积分,净变化就是该函数在区间两端点的差。

我们从一个例子开始。假设有一个物体在直线上运动,其位置为,其中为时间,意味着的函数。这个函数的导数等于位置的无穷小变化除以时间的无穷小变化(当然,该导数本身也与时间有关)。我们把速度定义为位置的变化除以时间的变化。用莱布尼兹记法

整理,得

根据以上的推理,的变化──,是的无穷小变化之和。它也等于导数和时间的无穷小乘积之和。这个无穷的和,就是积分;所以,一个函数求导之后再积分,得到的就是原来的函数。我们可以合理地推断,这个运算反过来也成立,积分之后再求导,得到的也是原来的函数。

历史

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詹姆斯·格里高利首先发表了该定理基本形式的几何证明[3][4][5]艾萨克·巴罗证明了该定理的一般形式[6]。巴罗的学生艾萨克·牛顿完善了微积分的相关理论。莱布尼茨使得相关理论实现体系化并引入了沿用至今的微积分符号。

正式表述

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微积分基本定理有两部分,第一部分是定积分的微分,第二部分是原函数和定积分之间的关联。

第一部分 / 第一基本定理

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    黎曼可积分,定义函数   如下:

 

  1.  闭区间   连续
  2.    连续,则 

第二部分 / 第二基本定理

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图解

若两函数   满足:

  •   (即    的一个原函数)
  •    黎曼可积分

则有:

 

可简记为

 

证明

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第一部分

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(1)   连续

因为   为黎曼可积,所以   有界 (否则会有矛盾) ,也就是存在   使

  (对所有的  )

根据黎曼积分的定义,若取  

 

那这样,如果取    ,则

 

那根据函数极限的定义,可以得到

 

故得证。  

(2)若    连续,则 

   连续意为:对所有   ,都存在   使得所有的   定义域里的   只要满足   就有  

而根据黎曼积分的定义可以知道,若对黎曼可积分的    ,则

 

这样考虑上述连续定义   的部分会有

 

类似的,   的部分会有

 

那同样根据函数极限的定义,就有

 

即为所求。  

第二部分

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 在区间 上连续,并设  的原函数。我们从以下表达式开始

 

设有数

 

使得

 

可得

 

我们加上 及其相反数,这样等式仍成立:

 

以上表达式可用以下的和表示:

 

我们将使用均值定理。就是:

 在闭区间 连续,在开区间 可导,则开区间 内一定存在 使得

 

可得

 

函数 在区间 可导,所以在每一个区间 也是可导和连续的。因此,根据均值定理,

 

把上式代入(1),得

 

根据第一部分的结论,我们有 。另外, 可表示为第 个小区间的 

 
 
一个黎曼和的收敛数列。右上角的数是灰色矩形的面积。它们收敛于函数的积分。

注意到我们正在描述矩形的面积(长度乘以宽度),并把这些面积相加起来。每一个矩形都描述了一部分曲线的估计。同时也注意到, 并不需要对于任何 都是相同的,换句话说,矩形的长度可以变化。我们要做的,是要用 个矩形来近似代替曲线。现在,当 增加而每一个矩形越来越小时,它的面积就越来越接近曲线的真实面积。

当矩形的宽度趋近于零时取极限,便得出黎曼积分。也就是说,我们取最宽的矩形趋于零,而矩形的数目趋于无穷大时的极限。

所以,我们把(2)式的两边取极限,得

 

  都不依赖于 ,所以左面的极限仍然是 

 

右边的表达式定义了   的积分。这样,我们有

 

证明完毕。

例子

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计算以下积分:

 

在这里,  是一个原函数。因此:

 

推广

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我们不需要假设 在整个区间是连续的。这样定理的第一部分便说明:如果 是区间 内的任何一个勒贝格可积的函数,  内的一个数,使得  连续,则

 

 是可导的,且 。我们可以把 的条件进一步降低,假设它仅仅是可积的。这种情况下,我们便得出结论: 几乎处处可导,且 几乎处处等于 。这有时称为勒贝格微分定理

定理的第一部分对于任何具有原函数 的勒贝格可积函数 都是正确的(不是所有可积的函数都有原函数)。

泰勒定理中把误差项表示成一个积分的形式,可以视为微积分基本定理的一个推广。

对于复数函数,也有一个类似的形式:假设  的一个开集, 是一个在 处具有全纯原函数 的函数。那么对于所有曲线 曲线积分可以用下式来计算:

 

微积分基本定理可以推广到多维空间的曲线和曲面积分,也可以推广到流形

这个方向上的一个有力的表述是斯托克斯定理:设 为一个可定向分段光滑 维流形,并设   上的C1紧支撑微分形式。如果 表示M 边界,并以 的方向诱导的方向为边界的方向,则

 

这里 外导数,它仅仅用流形的结构来定义。斯托克斯定理将德拉姆上同调和奇异链的同调联系起来。

参见

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注解

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  1. ^ 更加确切地,该定理涉及了可变上限和任意选择的下限的定积分。这类特殊的定积分允许我们计算函数的无穷多个原函数之一(除了那些没有零点的原函数)因此,它几乎跟不定积分是等价的,大部分作者把它定义为产生任何一个可能的原函数的运算,包括没有零点的原函数。
  2. ^ See, e.g., Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History, Mathematical Association of America, 2004, p. 114页面存档备份,存于互联网档案馆).
  3. ^ Malet, Antoni. James Gregorie on tangents and the "Taylor" rule for series expansions. Archive for History of Exact Sciences (Springer-Verlag). 1993. doi:10.1007/BF00375656. Gregorie's thought, on the other hand, belongs to a conceptual framework strongly geometrical in character. (page 137) 
  4. ^ See, e.g., Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History, Mathematical Association of America, 2004, p. 114.
  5. ^ Gregory, James. Geometriae Pars Universalis. Museo Galileo: Patavii: typis heredum Pauli Frambotti. 1668. 
  6. ^ Child, James Mark; Barrow, Isaac. The Geometrical Lectures of Isaac Barrow. Chicago: Open Court Publishing Company. 1916. 

参考文献

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  • Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable. 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
  • Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.
  • Malet, A, Studies on James Gregorie (1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989).
  • Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early transcendentals. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
  • Turnbull, H W (ed.), The James Gregory Tercentenary Memorial Volume (London, 1939)