拉西奥娃-西科尔斯基引理

在公理集合论中，拉西奥娃-西科尔斯基引理（Rasiowa–Sikorski lemma）是力迫使用的技巧中最基本的事实之一，该引理以海伦娜·拉西奥娃和罗曼·西科尔斯基为名。

引理内容

在力迫的领域中，若说偏序集$\left(P,\leq \right)$的子集$E$在$P$中稠密，就表示对于任意的$p\in P$而言，有$e\in E$使得$e\leq p$；而若$D$是$P$的稠密子集的集族，那么在满足以下条件的状况下，就称$P$中的滤子$F$是$D$－一般的：

$F\cap E\neq \emptyset ,\forall E\in D$

再有这些预备知识，就可以来描述拉西奥娃－西科尔斯基引理：

设$\left(P,\leq \right)$是一个偏序集且$p\in P$，若$D$是$P$的稠密子集的可数集族，那就存在一个$P$中的$D$－一般的滤子$F$，使得$p\in F$

证明

此引理证明如下：

由于$D$可数之故，因此可以将$P$的子集给编号为$D_{1},D_{2},D_{3},...$等等，由假设可知，存在一个$p\in P$，然后由稠密性可知，存在一个$p_{1}\leq p$且$p_{1}\in D_{1}$，如是反复，可得$...\leq p_{2}\leq p_{1}\leq p$，其中$p_{i}\in D_{i}$，因此$G=\left\{q\in p:\exists i,q\geq p_{i}\right\}$是$D$－一般的滤子。

可以认为拉西奥娃－西科尔斯基引理是马丁公理较弱的版本，或说拉西奥娃-西科尔斯基引理等价于$\operatorname {MA} (\aleph _{0})$。

例子

• 对于$\left(P,\leq \right)=(func(X,Y),\supseteq )$，也就是从$X$到$Y$的、由包含关系定义的反向偏函数的偏序而言，若定义$D_{x}=\left\{s\in P:x\in dom(s)\right\}$，那在这种状况下，若$X$可数，则拉西奥娃－西科尔斯基引理可得一个$\left\{D_{x}:x\in X\right\}$－一般的滤子$F$及一个函数$F:X\rightarrow Y$
• 假若我们使用处理$D$－一般的滤子的符号，那么$\left\{H\cup G_{0}:P_{ij}P_{t}\right\}$可得一个$H$－一般滤子
• 若$D$不可数，但其基数严格小于$2^{\aleph _{0}}$且其偏序集满足可数链条件，那我们可使用马丁公理。

参见

• 一般滤子
• 马丁公理

参考资料

• Ciesielski, Krzysztof. Set theory for the working mathematician. London Mathematical Society Student Texts 39. Cambridge: Cambridge University Press. 1997. ISBN 0-521-59441-3. Zbl 0938.03067. 
• Kunen, Kenneth. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 102. North-Holland. 1980. ISBN 0-444-85401-0. Zbl 0443.03021. 

外部链接

• Tim Chow's新闻群的文章Forcing for dummies （页面存档备份，存于互联网档案馆）对力迫的概念与想法做出了很好的介绍，该文章介绍了主要的想法且跳过了技术性的细节。