拓扑维数

拓扑空间 $X$ 的拓扑维数是 n ，若且唯若 n 是最小的整数使得以下陈述成立：

对于 $X$ 任意的一个有限开覆盖$A$，都存在另一个有限开覆盖$B$，使得 $B$是$A$的精细，且$X$内的每个点都只属于至多 n+1 个$B$的元素。

拓扑维数又称勒贝格维数。

图象化来解释：

左图是右图的精细。用彩色区域表示开集。留意在右图内，黑色圆线上的每点都被包含于至多两个开集内。

左下图是上图的精细。灰色方形内的每点都被包含于至多三个开集内。右下图内，我们尝试勾勒上图的精细，使得灰色方形上的每点都被包含在不超过两个开集内——但那是做不到的。由此可知灰色方形的拓扑维数必然大于1。

参见

• 勒贝格测度
• 豪斯多夫维数
• 计盒维数