斜率

在数学上，直线的斜率（slope）或称梯度（gradient），是描述与度量该线“方向”和“陡度”的数字，常用 $m$ 表示；斜率也用来计算斜坡的“斜度”（倾斜程度）。透过代数和几何能计算出直线的斜率。

斜率：$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan(\theta )$，$\theta$是倾角

一直线的斜率在其上任一点皆相等；一曲线的斜率在其上任一点则不定，由该点切线的斜率而决定。曲线上某点的切线斜率，反映此曲线的变数在此点的变化快慢程度。透过微积分可计算出曲线中任一点的切线斜率，直线斜率的概念等同土木工程和地理的坡度。

另一个相关概念是倾角（angle of inclination）或斜角，即直线与水平轴（$x$ 轴）所夹的最小角，以 $\theta$ 表示，$-90^{\circ }<\theta \leq 90^{\circ }$。倾角 $\theta$ 的正切函数值为直线的斜率，即 $m=\tan(\theta )$；而 $\theta =\arctan(m)$，$\arctan$ 是反正切函数。

定义

• 对于直角坐标系，一次函数：$y=kx+b$，若 $k$、$b$ 均不为0，则可说 $k$ 是斜率，$b$ 是截距。

• 若横轴为 $x$ 轴，纵轴是 $y$ 轴，斜率 $m$ 可表示为：

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$　($\Delta$：变数的改变)

• 若已知道直角坐标系内两点 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$，则斜率 $m$ 可表示为：

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

• 垂直线的斜率是未定义的，因为此时 $\Delta x=0$（即 分母为 0）。

运算

点斜式

如已知点$\left(x_{0},y_{0}\right)$斜率为$m$的直线方程式时，即可使用此方法。

$y-y_{0}=m\left(x-x_{0}\right)$

截距式

若已知某直线在$x$轴、$y$轴上的截距分别为$a$, $b$，则该直线的方程可以表示为：

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1$

两点式

如已知$\left(x_{1},y_{1}\right)$、$\left(x_{2},y_{2}\right)$相异两点$x_{1}$≠$x_{2}$，$y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\left(x-x_{1}\right)$

②若$x_{1}=x_{2}$，$x=x_{1}$

原理：两个相似的直角三角形

斜截式

如已知斜率$m$ ，$y$截距为$b$，则直线的方程式是

$y=mx+b.$

若$x$截距为$a$，则是 $y=m(x-a).$

参见

• 直线
• 角度
• 截距
• 方程式
• 方程组