最小上界性
数学中,最小上界性(亦称上确界性,英语:least-upper bound property, LUB)[1] 是实数集和其他一些有序集的基础属性,与实数的完备性等价[2] 。 集合X具有最小上界性当且仅当X的任意具有上界的非空子集有最小上界 (上确界)。
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性质概述
编辑实数
编辑令 为实数集的一个非空子集。
- 如果实数 大于或等于所有 中的元素,则 称为 的上界。
- 如果实数 是 的上界,并且 小于或等于所有 的上界,则 称为 的最小上界。
最小上界性的表述为
- 所有具有上界的非空实数集都有最小上界,且最小上界为实数。
一般序集合
编辑对任意偏序集合 ,我们都可以定义 的子集的上界和最小上界,只需把前一段落的“实数”改为“ 的元素”即可。
此处最小上界性的表述为
- 所有具有上界的 的非空子集都有最小上界 ,并满足 。
有理数集并没有最小上界性,考虑其子集
它有在有理数集中的上界(例如2),但它的最小上界 不在有理数集中。
证明
编辑应用
编辑最小上界性可以用来证明许多实分析中的主要定理