最小上界性

数学中，最小上界性（亦称上确界性，英语：least-upper bound property, LUB） 是实数集和其他一些有序集的基础属性，与实数的完备性等价 。 集合X具有最小上界性当且仅当X的任意具有上界的非空子集有最小上界 (上确界)。

任意的有界非空实数集都有一个最小上界。

性质概述

实数

令$S$为实数集的一个非空子集。

• 如果实数$x$大于或等于所有$S$中的元素，则$x$称为$S$的上界。
• 如果实数$x$是$S$的上界，并且$x$小于或等于所有$S$的上界，则$x$称为$S$的最小上界。

最小上界性的表述为

所有具有上界的非空实数集都有最小上界，且最小上界为实数。

一般序集合

对任意偏序集合$X$，我们都可以定义$X$的子集的上界和最小上界，只需把前一段落的“实数”改为“$X$的元素”即可。

此处最小上界性的表述为

所有具有上界的$X$的非空子集都有最小上界$x$，并满足$x\in X$。

有理数集并没有最小上界性，考虑其子集

$\{x\in \mathbb {Q} |x^{2}<2\}=\mathbb {Q} \cap (-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}})$

它有在有理数集中的上界（例如2），但它的最小上界${\sqrt {2}}$不在有理数集中。

应用

最小上界性可以用来证明许多实分析中的主要定理