最小上界性

數學中，最小上界性（亦稱上確界性，英語：least-upper bound property, LUB） 是實數集和其他一些有序集的基礎屬性，與實數的完備性等價 。 集合X具有最小上界性若且唯若X的任意具有上界的非空子集有最小上界 (上確界)。

任意的有界非空實數集都有一個最小上界。

性質概述

實數

令$S$為實數集的一個非空子集。

• 如果實數$x$大於或等於所有$S$中的元素，則$x$稱為$S$的上界。
• 如果實數$x$是$S$的上界，並且$x$小於或等於所有$S$的上界，則$x$稱為$S$的最小上界。

最小上界性的表述為

所有具有上界的非空實數集都有最小上界，且最小上界為實數。

一般序集合

對任意偏序集合$X$，我們都可以定義$X$的子集的上界和最小上界，只需把前一段落的「實數」改為「$X$的元素」即可。

此處最小上界性的表述為

所有具有上界的$X$的非空子集都有最小上界$x$，並滿足$x\in X$。

有理數集並沒有最小上界性，考慮其子集

$\{x\in \mathbb {Q} |x^{2}<2\}=\mathbb {Q} \cap (-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}})$

它有在有理數集中的上界（例如2），但它的最小上界${\sqrt {2}}$不在有理數集中。

應用

最小上界性可以用來證明許多實分析中的主要定理