本构关系

在电磁学里，为了要应用宏观马克士威方程组，必须分别找到$\mathbf {D}$场与$\mathbf {E}$场之间，和$\mathbf {H}$场与$\mathbf {B}$场之间的关系。这些称为本构关系的物理性质，设定了束缚电荷和束缚电流对于外场的响应。它们实际地对应于，一个物质响应外场作用而产生的电极化或磁化。

本构关系式的基础建立于$\mathbf {D}$场与$\mathbf {H}$场的定义式：

$\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ \epsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)$、

$\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)$；

其中，$\mathbf {P}$是电极化强度，$\mathbf {M}$是磁化强度。

本构关系式的一般形式为

$\mathbf {D} =\mathbf {D} (\mathbf {E} ,\mathbf {B} )$、

$\mathbf {H} =\mathbf {H} (\mathbf {E} ,\mathbf {B} )$。

在解释怎样计算电极化强度与磁化强度之前，最好先检视一些特别案例。

自由空间案例

假设，在自由空间（即理想真空）里，就不用考虑介电质和磁化物质，本构关系式变得很简单：

$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E}$、

$\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}$。

将这些本构关系式代入宏观马克士威方程组，则得到的方程组很像微观马克士威方程组，当然，在得到的高斯定律方程式和马克士威-安培方程式内，总电荷密度和总电流密度分别被自由电荷密度和自由电流密度替代。这符合期待的结果，因为，在自由空间里，没有束缚电荷、束缚电流和极化电流。

线性物质案例

对于线性、各向同性物质，本构关系式也很直接：

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}$、

$\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu$；

其中，$\varepsilon$是物质的电容率，$\mu$是物质的磁导率。

将这些本构关系式代入宏观马克士威方程组，可以得到方程组

对于线性、各向同性物质的表述

名称	微分形式	积分形式
高斯定律	$\nabla \cdot (\varepsilon \mathbf {E} )=\rho _{f}$	$\iint _{\mathbb {S} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset (\varepsilon \mathbf {E} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =Q_{f}$
高斯磁定律	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\iint _{\mathbb {S} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =0$
马克士威-法拉第方程 (法拉第电磁感应定律)	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\oint _{\mathbb {L} }\ \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathbf {B} }}{\mathrm {d} t}}$
安培定律 (含马克士威加法)	$\nabla \times (\mathbf {B} /\mu )=\mathbf {J} _{f}+\varepsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\$	$\oint _{\mathbb {L} }\ (\mathbf {B} /\mu )\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=I_{f}+{\frac {\mathrm {d} \Phi _{\varepsilon \mathbf {E} }}{\mathrm {d} t}}$

除非这物质是均匀物质，不能从微分式或积分式内提出电容率和磁导率。通量$\Phi _{\varepsilon \mathbf {E} }$的方程式为

$\Phi _{\varepsilon \mathbf {E} }=\iint _{\mathbb {S} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \varepsilon \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s}$。

这方程组很像微观马克士威方程组，当然，在得到的高斯定律方程式和马克士威-安培方程式内，自由空间的电容率和磁导率分别被物质的电容率和磁导率替代；还有，总电荷密度和总电流密度分别被自由电荷密度和自由电流密度替代。这符合期待的结果，因为，在均匀物质内部，没有束缚电荷、束缚电流和极化电流，虽然由于不连续性，可能在表面会有面束缚电荷、面束缚电流或面极化电流。

一般案例

对于实际物质，本构关系并不是简单的线性关系，而是只能近似为简单的线性关系。从$\mathbf {D}$场与$\mathbf {H}$场的定义式开始，要找到本构关系式，必需先知道电极化强度和磁化强度是怎样从电场和磁场产生的。这可能是由实验得到（建立于直接测量），或由推论得到（建立于统计力学、传输力学（transport phenomena）或其它凝聚态物理学的理论）。所涉及的细节可能是宏观或微观的。这都要视问题的层级而定。

虽然如此，本构关系式通常仍旧可以写为

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}$、

$\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu$。

不同的是，$\varepsilon$和$\mu$不再是简单常数，而是函数。例如，

• 色散或吸收：$\varepsilon$和$\mu$是频率的函数。因果论不允许物质具有非色散性，例如，克拉莫-克若尼关系式。场与场之间的相位可能不同相，这导致$\varepsilon$和$\mu$为复值，也导致电磁波被物质吸收。
• 非线性：$\varepsilon$和$\mu$都是电场与磁场的函数。例如，克尔效应和波克斯效应（Pockels effect）。
• 各向异性：例如，双折射或二向色性（dichroism）。$\varepsilon$和$\mu$都是二阶张量：

$D_{i}=\sum _{j}\epsilon _{ij}E_{j}$、

$B_{i}=\sum _{j}\mu _{ij}H_{j}$。

• 双耦合各向同性（Bi-isotropy）或双耦合各向异性（Bi-anisotropy）：在双耦合各向同性物质里，$\mathbf {D}$场与$\mathbf {H}$场分别各向同性地耦合于$\mathbf {E}$场与$\mathbf {B}$场：

$\mathbf {D} =\epsilon \mathbf {E} +\xi \mathbf {H}$、

$\mathbf {B} =\mu \mathbf {H} +\zeta \mathbf {E}$；

其中，$\xi$与$\zeta$是耦合常数，每一种介质的内禀常数。

在双耦合各向异性物质里，$\mathbf {D}$场与$\mathbf {H}$场分别各向异性地耦合于$\mathbf {E}$场与$\mathbf {B}$场，系数$\epsilon$、$\mu$、$\xi$、$\zeta$都是张量。

• 在不同位置和时间，$\mathbf {P}$场与$\mathbf {M}$场分别跟$\mathbf {E}$场、$\mathbf {B}$场有关：这可能是因为“空间不匀性”。例如，一个磁铁的域结构、异质结构或液晶，或最常出现的状况是多种材料占有不同空间区域。这也可能是因为随时间而改变的物质或磁滞现象。对于这种状况，$\mathbf {P}$场与$\mathbf {M}$场计算为

$\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\int d^{3}\mathbf {r} 'dt'\;\chi _{\mathrm {e} }(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {E} )\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ',t')$、

$\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\int d^{3}\mathbf {r} 'dt'\;\chi _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {B} )\,\mathbf {B} (\mathbf {r} ',t')$；

其中，$\chi _{\mathrm {e} }$是电极化率，$\chi _{\mathrm {m} }$是磁化率。

实际而言，在某些特别状况，一些物质性质给出的影响微乎其微，这允许物理学者的忽略。例如，在低场强度状况，光学非线性性质可以被忽略；当频率局限于狭窄频宽内时，色散不重要；对于能够穿透物质的波长，物质吸收可以被忽略；对于微波或更长波长的电磁波，有限电导率的金属时常近似为具有无穷大电导率的完美金属（perfect metal），形成电磁场穿透的趋肤深度为零的硬障碍。

随著材料科学的进步，材料专家可以设计出具有特定的电容率或磁导率的新材料，像光子晶体。

本构关系的演算

通常而言，感受到局域场施加的劳仑兹力，介质的分子会有所响应，从相关的理论计算，可以得到这介质的本构关系式。除了劳仑兹力以外，可能还需要给出其它作用力的理论模型，像涉及晶体内部晶格振动的键作用力，将这些作用力纳入考量，一并计算。

在介质内部任意分子的位置$\mathbf {r}$，其邻近分子会被电极化和磁化，从而造成其局域场会与外场或宏观场不同。更详尽细节，请参阅克劳修斯-莫索提方程式。真实介质不是连续性物质，其局域场在原子尺度的变化相当剧烈，必需经过空间平均，才能形成连续近似。

这连续近似问题时常需要某种量子力学分析，像应用于凝聚态物理学的量子场论。请参阅密度泛函理论和格林-库波关系式（Green–Kubo relations）等等案例。物理学者研究出许多近似传输方程式，例如，波兹曼传输方程式（Boltzmann transport equation）、佛克耳-普朗克方程式（Fokker–Planck equation）和纳维-斯托克斯方程式。这些方程式已经广泛地应用于流体动力学、磁流体力学、超导现象、等离子模型（plasma modeling）等等学术领域。一整套处理这些艰难问题的物理工具已被成功地发展出来。另外，从处理像砾岩（conglomerate）或叠层材料（laminate）一类物质的传统方法演变出来的“均质化方法”，是建立于以“均质有效介质”来近似“非均质介质”的方法。当激发波长超大于非均质性的尺度时，这方法正确无误。

理论得到的答案必须符合实验测量的数据。许多真实物质的连续近似性质，是靠著实验测量而得到的。例如，应用椭圆偏振技术得到的薄膜的介电性质。