样本均值是由一个或多个随机变数中得到的统计量,样本均值是一个向量,其中的每个元素都是针对随机变数取样后得到的算术平均数。若只考虑一个随机变量,则样本均值为一个纯量,是随机变数观测值的算术平均。

定义

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 为第j个随机变数(j=1,...,K)在第i次观测(i=1,...,N)到的值,所有观测值可以重组为N个K ×1的向量,其中第i次观测的所有数据用 表示(i=1,...,N)。

算术平均向量 的第j个元素 是第j个随机变数在N次观测值的平均值:

 

因此算术平均向量包括所有随机变数的平均值,可以用以下方式表示:

 

样本均值是随机向量英语Multivariate random variable 期望(若存在)的无偏估计英语Bias of an estimator,随机向量是一个列向量,其中第j个元素(j = 1, ..., K)为第j个随机变数[1]

样本均值因为是用所有的观测值计算而得,稍微和每次的观测值有关。若母体平均 已知,其无偏估计值

 

用到母体平均,其分母为 

样本均值的方差

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本节中总假定出现的均值和方差都是存在的。对于每个随机变数,样本均值是母体平均的良好估计函数,其中的良好是指有效及无偏差。当然样本均值不会是统计母体真实均值的正确值,因为从同一个分布中不同的取様会产生不同的样本均值,也就对真实均值有不同的估计。因此样本均值也是随机变数,不是常数,因此也会有其分布随机变数。针对第j个随机变数N次观测的随机取様,其样本均值分布的均值会等于母体均值 ,而其变异数会等于 ,其中 是随机变数Xj的变异数。

评论

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样本均值广为使用在统计学及相关应用中,不过也有其缺点。样本均值不是稳健统计,容易受异常点英语outliers影响。在真实世界的应用中,一般会期望数据有稳健的性质,有其他方式可以计算类似样本均值的统计量,但又比样本均值要稳健,可以得到一些常见的量化统计量,例如样本众数位置参数英语Location parameter有关[2]。其他的替代品包括Winsorising英语Winsorising修整估计量英语Trimmed estimator,例如Winsorized平均英语Winsorized mean修整平均英语trimmed mean

参考资料

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  1. ^ Richard Arnold Johnson; Dean W. Wichern. Applied Multivariate Statistical Analysis. Pearson Prentice Hall. 2007 [10 August 2012]. ISBN 978-0-13-187715-3. (原始内容存档于2020-10-30). 
  2. ^ The World Question Center 2006: The Sample Mean页面存档备份,存于互联网档案馆), Bart Kosko