正实函数

正实函数（Positive-real functions）的缩写是PR函数或是PRF，是在电路分析中会出现的一种数学函数。正实函数是复数函数Z(s)，其变数s也是复数。有理函数若在复平面的右半边都有正的实部，且可解析，在实轴上都为实数，就是正实函数。

其定义可以表示为下式：

${\begin{aligned}&\Re [Z(s)]>0\quad {\text{if}}\quad \Re (s)>0\\&\Im [Z(s)]=0\quad {\text{if}}\quad \Im (s)=0\end{aligned}}$

在电路分析中Z(s)表示阻抗，而s为S平面变数，也常用其实部及虚部表示：

$s=\sigma +i\omega \,\!$

则正实函数的定义会改为下式：

${\begin{aligned}&\Re [Z(s)]>0\quad {\text{if}}\quad \sigma >0\\&\Im [Z(s)]=0\quad {\text{if}}\quad \omega =0\end{aligned}}$

正实函数在电路分析的重要性在于正实函数的条件也就是电路可实现性的条件。Z(s)可实现为单埠有理阻抗若且唯若其符合正实函数的条件。此情形下的可实现表示可以用有限个分立理想的被动线性元件（以电路来说就是电阻器、电感元件、电容器）来实现。

定义

“正实函数”最早是由Otto Brune所定义，描述符合以下条件的函数Z(s) ：

• 是有理函数（二个多项式的商）
• s为实数时，函数有实数值。
• s的实部为正时，函数的实数也为正值。

许多作者严格依照上述定义，包括明确要求是有理函数。不过Cauer之前就有提出类似，但要求较宽的条件，也有些作者将“正实函数”的定义认为是Cauer提出的这一种，其他作者则认为Cauer的定义是基本定义的扩展版本。

历史

正实函数的条件最早是由Wilhelm Cauer(1926)提出，他确定了这些是必要条件。 Otto Brune(1931)开始使用“正实”（positive-real）一词，并且证明是可实现的充份条件及必要条件。

性质

• 二个正实函数的和也是正实函数
• 由二个正实函数组合成的复合函数也是正实函数。若Z(s)是正实函数，则1/Z(s)和 Z(1/s)也是正实函数。
• 正实函数的所有极点和零点都在左半平面，或是在虚轴的边界上。
• 虚轴上的所有极点和零点都是单纯极点或零点（其重复度为1）
• 虚轴上的所有极点都有实数且严格为正的留数，虚轴上的所有零点，都有实数且严格为正的导数。
• 在右半平面，正实函数实部的最小值出现在虚轴（因为解析函数的实部会形成平面上的调和函数，因此会满足最大原则。
• 针对有理的正实函数，其极点和零点的数量最多只差一。

扩展版本

正实函数有许多的扩展版本，希望用导抗函数来处理更大范围的被动线性电路。

无理函数

若是由包括无限个数的元件形成的电路（例如半无限阶的阶梯网路），其阻抗Z(s)不一定会是s的有限函数，而在负的实s轴也会有分支点。为了正实函数的定义可以适应这类的函数，需要放宽正实函数的要求，从所有的实数s下，函数都要是实数，变成只要在正实数s下，函数都要是实数即可。可能是无理函数的Z(s)是正实函数若且唯且

• Z(s) 在右半s平面解析（Re[s] > 0）
• 当s为正实数时，Z(s)为实数
• 当Re[s] ≥ 0时，Re[Z(s)] ≥ 0

有些作者由这个较宽的定义开始，将有理函数的情形视为特例。

矩阵值函数

超过一个埠的线性电路可以用阻抗参数或导纳参数来描述。透过延伸到矩阵函数的正实函数定义，可以区分那些是可以由被动元件实现的电路。矩阵值函数（可能是无理函数）Z(s)是正实函数的充份必要条件是

• Z(s)中的每一个元素在右半s平面（Re[s] > 0（开区间内可解析。
• 若s为正实数时，Z(s)的每一个元素都是实数。
• 若Re[s] ≥ 0时，Z(s)的埃尔米特部份为正定矩阵。

参考资料

• Wilhelm Cauer (1932) The Poisson Integral for Functions with Positive Real Part （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Bulletin of the American Mathematical Society 38:713–7, link from Project Euclid.
• W. Cauer (1932) "Über Funktionen mit positivem Realteil" （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Mathematische Annalen 106: 369–94.