直线,是一个点在平面或空间沿著一定方向和其相反方向运动的轨迹,是不弯曲的线。直线是几何学的基本概念,在不同的几何学体系中有著不同的描述。在这里主要描述欧几里得空间中的直线。其他曲率非零状况下的直线,请参考非欧几里得几何。
三条直线:红线与蓝线有相同的斜率, 红线与绿线有相同的y-截距 。
欧几里得几何研究曲率为零的空间下状况,它并未对点、直线、平面、空间给出定义,而是通过公理来描述点线面的关系。
欧几里得几何中的直线可以看作是一个点的集合,这个集合中的任意一点都在这个集合中的其他任意两点所确定的直线上。
“过两点有且只有一条直线”是欧几里得几何体系中的一条公理,“有且只有”意即“确定”,即两点确定一直线。
在几何学中,直线没有粗细,没有端点,没有方向性,具有无限的长度,具有固定的位置。
在解析几何中,我们常用线性方程描述一条直线。
平行于x-或y-轴
最简单的直线方程是平行于x-轴或y-轴的直线:
- 或 ,
当中 和 分别是x-和y-截距。
一般式
对于所有的直线,都可以形式
-
来表示。
这表示示形式并不是唯一的,但习惯上常限制 及 。在此限制下,同一条直线只有一种表达形式。
在这形式下,直线的斜率是 ,x-截距是 ,y-截距是 。
斜截式
在直线不平行于y-轴时,若斜率是 ,y-截距是 ,则有方程
- 。
在这形式下,直线的表达形式是唯一的。
二点式
若直线穿过两点 和 ,则有方程
- 。
等价地,可以用行列式
-
表示。
点斜式
若直线穿过一点 ,而且斜率是 ,则有方程
- 。
截距式
若直线的x-和y-截距分别是 和 ,则方程为
- 。
法线式
过原点向直线作一垂直线段,若该线长度为 ,且与正x-轴的倾斜角为 ,则有方程
- 。
向量式
若直线穿过一点 ,且有方向向量 ,则有向量方程
- ,
当中 ,而 是一任意实数。
须要注意的是,这直线的表达形式并不是唯一的。
参数式
从向量式出发,可以参数 表示方程
- ,
其中 是一任意实数。
在三维坐标上,由于一条等式只代表一个平面,一条直线须由最少两条等式定义。
平行于x-、y-或z-轴
平行于x-、y-或z-轴的直线有方程
- 、 或
的形式。
一般式
对于任何直线,一般式都能以两个非平行平面定义:
- ,
其中 。
由于从一条直线可引申出无限对平面,这表示方式并不是唯一的。因此又能考虑以三个共线平面定义:
- ,
或合并记作
- ,
其中系数须乎合关系 ,以保证三个平面相交于同一直线。
事实上,这三条等式分别对应著直线在xy-、yz-和xz-平面的投影。
在限制 及 下,同一条直线只有一种表达形式。
(注:对于平行于轴平面的直线,例如 ,会有以下表示方式:
- 。
对于定义一条直线,这步骤是非必要的。但在本页往后的部份,这表示方式能简化一些公式。)
斜截式
类似于二维的情形,在直线不平行于yz-轴平面时,可以写成
-
的形式。
在这形式下,直线的表达形式是唯一的。
(注:对于直线平行于yz-平面时,以上方式并不适用。但直线仍可表示成
- 。)
二点式
若直线穿过两点 和 ,则有方程
- 。
等价地,可以用行列式
-
表示。
向量式
若直线穿过一点 ,且有方向向量 ,则有向量方程
- ,
当中 ,而 是一任意实数。
须要注意的是,这直线的表达形式并不是唯一的。
参数式
从向量式出发,可以参数 表示方程
- ,
其中 是一任意实数。