科恩系列分布

科恩系列分布(Cohen's class distribution)于1966年由L. Cohen首次提出,且其使用双线性转换亦是此种转换形式中最通用的一种。在几种常见的时频分布中,Cohen's class分布是最强大的转换之一。随著近几年来时频分析发展,应用也越来越多元。Cohen's class分布和短时距傅立叶变换比较起来有较高的清晰度,但也相对的有交叉项(cross-term)的问题,不过可选择适当的遮罩函数(mask function)来将交叉项的问题降到最低。

数学定义

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其中   为模糊函数(Ambiguity Function) ,且 为一遮罩函数,通常是低通函数用来滤除杂讯。

科恩系列分布函数

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韦格纳分布(Wigner Distribution Function)

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当Cohen's class分布中的 时,Cohen's class分布会成韦格纳分布(Wigner distribution function) 
利用韦格纳分布对函数 作时频分析的结果可见右图。

锥状分布(Cone-Shape Distribution)

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当Cohen's class分布中的 ,且 时,
其中 ,Cohen's class分布会成锥状分布。
右图为不同的 值下的锥状分布时频分析图。


乔伊-威廉斯(Choi-Williams)

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当Cohen's class分布中的 时,Cohen's class分布会成乔伊-威廉斯分布。
右图为不同的 值下的锥状分布时频分析图。



科恩系列分布优缺点

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优点:
1.可选择适当的遮罩函数来避免掉交叉项问题 。
2.具有高清晰度。
缺点
1. 需要较高的计算量与时间。
2. 缺乏良好的数学特性。

科恩系列分布的实现

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简化方法一:不是所有的 的值都要计算出

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  ,若 ,则 

简化方法二:注意, 这个参数和输入及输出都无关

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 ,其中
 ,由于 和输入无关,可事先算出,因此可简化成两个积分式。

简化方法三:使用折积方法(convolution)

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 ,其中
 。对 或是 ,则
 ,上式为一折积式。

模糊函数 (Ambiguity Function)

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模糊函数的定义为:

 

Modulation 和 Time Shifting 对模糊函数的影响

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我们来看一下   对于模糊函数的影响

(1) 假设   是一个高斯函数:  , 其中  

那么我们可以得到  , 代入模糊函数   中:

 
 

(2) 假设   是一个经过 shifting 和 modulation 的高斯函数:

那么我们可以得到  , 代入模糊函数   中:

 
 
 

我们可以看到  ,

因此我们可以得出 time shifting   和 modulation   并不会影响  

积分后, 

所以    的地方会有最大的  

交叉项 Cross-term 问题

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上述所列出来的是当   只有一项而已 (one term only),如果   有两项以上的元素构成 (more than two terms),  ,依然会有交叉项 (cross-term) 的问题存在。

假设   , 其中

 

  代入模糊函数   中:

 
 
其中  

Auto - terms

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Cross - terms

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(1)  

 
 
 
 

(2)  

 
 

因此,我们目前得到   (auto-terms) 和   (cross-terms) 的公式,我们再仔细的分析 auto-terms 和 cross-terms 分别发生最大值的位置。

 
Ambiguity Function 分析图

首先,先看 Auto-terms:

 最大值发生在  的地方
 最大值发生在  的地方

而 Cross-terms:

 最大值发生在  的地方
 最大值发生在  的地方

换句话说,如果我们绘制一个 x轴为  , y轴为   的座标图,Auto-terms发生在原点   的位置,而 Cross-terms 则是以原点为对称中心,在第一象限和第三象限的位置,

这也是为什么可以透过一个低通函数来滤除杂讯,把主成分 Auto-terms 分离出来,避免交叉项的问题。

与 维格纳分布 Wigner Distribution Function 的不同

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维格纳分布是由尤金·维格纳于 1932 年提出的新的时频分析方法,对于非稳态的讯号有不错的表现。

相较于傅立叶转换或是短时距傅立叶转换,维格纳分布能有比较好的解析能力。

维格纳分布的定义为:

 

如果我们假设   是一个具有弦波特性的讯号,  

那么将此   代入维格纳分布中,

 
Wigner Distribution Function 分析图
 
 
 
 

所以当   时,   的地方会有最大值。

换句话说,当  有 modulation   或是有 time shifting   的情况发生时,会影响维格纳分布 (Wigner Distribution Function) 最大值   的位置

然而,对于科恩系列分布 (Cohen's class distribution)而言,time shifting   和 modulation   并不会影响  

参考

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  • Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2007.
  • Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2018.