科恩系列分佈

科恩系列分佈(Cohen's class distribution)於1966年由L. Cohen首次提出,且其使用雙線性轉換亦是此種轉換形式中最通用的一種。在幾種常見的時頻分佈中,Cohen's class分佈是最強大的轉換之一。隨著近幾年來時頻分析發展,應用也越來越多元。Cohen's class分佈和短時距傅立葉變換比較起來有較高的清晰度,但也相對的有交叉項(cross-term)的問題,不過可選擇適當的遮罩函數(mask function)來將交叉項的問題降到最低。

數學定義

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其中   為模糊函數(Ambiguity Function) ,且 為一遮罩函數,通常是低通函數用來濾除雜訊。

科恩系列分佈函數

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韋格納分布(Wigner Distribution Function)

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當Cohen's class分佈中的 時,Cohen's class分佈會成韋格納分布(Wigner distribution function) 
利用韋格納分佈對函數 作時頻分析的結果可見右圖。

錐狀分布(Cone-Shape Distribution)

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當Cohen's class分佈中的 ,且 時,
其中 ,Cohen's class分佈會成錐狀分布。
右圖為不同的 值下的錐狀分佈時頻分析圖。


喬伊-威廉斯(Choi-Williams)

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當Cohen's class分佈中的 時,Cohen's class分佈會成喬伊-威廉斯分布。
右圖為不同的 值下的錐狀分佈時頻分析圖。



科恩系列分佈優缺點

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優點:
1.可選擇適當的遮罩函數來避免掉交叉項問題 。
2.具有高清晰度。
缺點
1. 需要較高的計算量與時間。
2. 缺乏良好的數學特性。

科恩系列分佈的實現

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簡化方法一:不是所有的 的值都要計算出

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  ,若 ,則 

簡化方法二:注意, 這個參數和輸入及輸出都無關

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 ,其中
 ,由於 和輸入無關,可事先算出,因此可簡化成兩個積分式。

簡化方法三:使用摺積方法(convolution)

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 ,其中
 。對 或是 ,則
 ,上式為一摺積式。

模糊函數 (Ambiguity Function)

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模糊函數的定義為:

 

Modulation 和 Time Shifting 對模糊函數的影響

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我們來看一下   對於模糊函數的影響

(1) 假設   是一個高斯函數:  , 其中  

那麼我們可以得到  , 代入模糊函數   中:

 
 

(2) 假設   是一個經過 shifting 和 modulation 的高斯函數:

那麼我們可以得到  , 代入模糊函數   中:

 
 
 

我們可以看到  ,

因此我們可以得出 time shifting   和 modulation   並不會影響  

積分後, 

所以    的地方會有最大的  

交叉項 Cross-term 問題

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上述所列出來的是當   只有一項而已 (one term only),如果   有兩項以上的元素構成 (more than two terms),  ,依然會有交叉項 (cross-term) 的問題存在。

假設   , 其中

 

  代入模糊函數   中:

 
 
其中  

Auto - terms

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Cross - terms

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(1)  

 
 
 
 

(2)  

 
 

因此,我們目前得到   (auto-terms) 和   (cross-terms) 的公式,我們再仔細的分析 auto-terms 和 cross-terms 分別發生最大值的位置。

 
Ambiguity Function 分析圖

首先,先看 Auto-terms:

 最大值發生在  的地方
 最大值發生在  的地方

而 Cross-terms:

 最大值發生在  的地方
 最大值發生在  的地方

換句話說,如果我們繪製一個 x軸為  , y軸為   的座標圖,Auto-terms發生在原點   的位置,而 Cross-terms 則是以原點為對稱中心,在第一象限和第三象限的位置,

這也是為什麼可以透過一個低通函數來濾除雜訊,把主成分 Auto-terms 分離出來,避免交叉項的問題。

與 維格納分布 Wigner Distribution Function 的不同

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維格納分布是由尤金·維格納於 1932 年提出的新的時頻分析方法,對於非穩態的訊號有不錯的表現。

相較於傅立葉轉換或是短時距傅立葉轉換,維格納分布能有比較好的解析能力。

維格納分布的定義為:

 

如果我們假設   是一個具有弦波特性的訊號,  

那麼將此   代入維格納分布中,

 
Wigner Distribution Function 分析圖
 
 
 
 

所以當   時,   的地方會有最大值。

換句話說,當  有 modulation   或是有 time shifting   的情況發生時,會影響維格納分布 (Wigner Distribution Function) 最大值   的位置

然而,對於科恩系列分布 (Cohen's class distribution)而言,time shifting   和 modulation   並不會影響  

參考

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  • Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2007.
  • Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2018.