总变差去噪

总变差去噪（英语：Total Variation Denoising）是讯号处理中一种常见的降噪方法，于1992年由L. I. Rudin、S. Osher和E. Fatemi提出，因此亦称为ROF模型。一个含有杂讯的讯号相较于其未受杂讯影响的讯号，会有较大的总变差值，即其梯度绝对值的总和较大。因此若能找到一个与原始讯号相似且总变差较小的讯号，即可作为原始讯号的降噪结果。此算法可以在去除杂讯的同时保留边缘，即使在低讯号杂讯比的情况下，依然能有效的去噪和保留边缘。

总变差

参见：总变差

总变差为一函数其数值变化的总和。可表示为其微分后取绝对值再积分的结果。

一维连续函数

若一函数$y=f(x)$为一维连续可微函数，其在区间$[a,b]\subset \mathbb {R}$之总变差定义为

$TV_{a}^{b}(y)=\int _{a}^{b}|f'(x)|dx$,

其中$f'(x)$为$f(x)$的一次微分。

当$f(x)$不可微分时，其总变差由一般性的定义给出:

$TV_{a}^{b}(y)=\sup _{\mathcal {P}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|$,

其中${\mathcal {P}}$为区间$[a,b]$中所有可能的分割，即$\scriptstyle {\mathcal {P}}=\left\{P=\{x_{0},\dots ,x_{n_{P}}\}|P{\text{ is a partition of }}[a,b]\right\}$。

一维离散函数

若一函数$y=f(x)$为一维离散函数，则其总变差定义为

$TV(y)=\sum _{n}|f(x_{n+1})-f(x_{n})|$.

即差分后取绝对值再加总的结果。

一维讯号去噪

设输入的观察讯号为$x$，对$x$去噪得到的讯号为$y$。我们可以透过解最佳化问题来从$x$得到$y$。当以总变差去噪法对讯号进行去噪时，最佳化问题应满足以下两个条件:

• $x$与$y$相似，以保留讯号整体的结构性
• $y$的总变差不大，以降低杂讯

在数学上，两个讯号的相似度可以以两者差的$L_{2}$-范数表示，即

$E(x,y)={\frac {1}{2}}\left\|x-y\right\|_{2}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{n}(x_{n}-y_{n})^{2}$,

其中$\left\|\cdot \right\|_{2}$即为$L_{2}$-范数，而$x_{n},y_{n}$为讯号的取样点。

借由上述数学表达式，总变差去噪法的最佳化问题可以写成

$\min _{y}E(x,y)+\lambda TV(y)$.

即利用最小平方法，并以总方差作为正规化的正规项，以求得去噪结果。其中$\lambda$为正规化参数，用于调整正规项的重要程度。

由于$E(x,y)$和$TV(y)$皆为凸函数，因此一维总变差去噪的最佳化为一凸优化问题，有许多凸优化演算法可以求解，且其解必为全局最佳值。

影像去噪

影像为二维离散讯号，在ROF模型中定义的总变差为

$TV(y)=\sum _{m,n}\left\|\nabla y_{m,n}\right\|_{2}=\sum _{m,n}{\sqrt {|y_{m+1,n}-y_{m,n}|^{2}+|y_{m,n+1}-y_{m,n}|^{2}}}$,

其中$\nabla$为梯度运算子。

然而该定义不可微分，做为最佳化问题的正规项时不易求解。因此也有$L_{1}$-范数形式的二维总变差

$TV(y)=\sum _{m,n}\left\|\nabla y_{m,n}\right\|_{1}=\sum _{m,n}(|y_{m+1,n}-y_{m,n}|+|y_{m,n+1}-y_{m,n}|)$.

最佳化问题的形式与解一维讯号形式相同

$\min _{y}E(x,y)+\lambda TV(y)$.

然而二维讯号的最佳化问题不一定为凸优化问题，因此无法以常见凸优化演算法求解。目前发展能求解的演算法有原始-对偶演算法、交替方向乘子法(ADMM)、布雷格曼方法等等。

其他变形

高阶微分

总变差的概念为先微分取绝对值后再积分。因此在一些文献中有使用到二阶微分以上的例子。 当处理讯号为离散讯号时，二阶差分的形式如下

$f''(x_{n})=f(x_{n-1})-2f(x_{n})+f(x_{n+1})$

因此使用二阶差分的总变差可定义为

$TV^{(2)}(y)=\sum _{n}|f''(x_{n})|$

而最佳化问题的形式为

$\min _{y}E(x,y)+\lambda _{1}TV(y)+\lambda _{2}TV^{(2)}(y)$

双边总变差去噪

双边总变差(bilateral total variation)是2004年由S.Farisu和D.Robinson提出的最佳化正规项。该正规项基于总变差，结合双边滤波器的概念而成。主要应用于影像复原。

双边总变差的形式如下

$BTV(\mathbf {Y} )=\sum _{l=-P}^{P}\sum _{m=\max(0,-l)}^{P}\lambda ^{|l|+|m|}\left\|\mathbf {Y} -\mathbf {S} _{x}^{l}\mathbf {S} _{y}^{m}\mathbf {Y} \right\|_{1}$,

其中$\mathbf {Y}$为处理图片，$\mathbf {S} _{x}^{l}$与$\mathbf {S} _{y}^{m}$为两个运算子，分别代表将图片水平移动$l$个像素与垂直移动$k$个像素。$\lambda$为权重，随著平移距离递减。

当$l=1,m=0$和$l=0,m=1$时，图片的每一个像素与相邻之下一个像素相减，此时的双边总变差与总变差相同。当$l,m$为其它值时，可以当成是计算斜线方向以及将图片降采样后的总变差值。如此达到更好的正规化效果。

根据S.Farisu的实验结果，双边总变差相对于总变差，边界模糊的情况较少，能够更好的保留原图片边界。

参见

• 数位讯号处理
• 最佳化
• 影像降噪
• 高斯模糊
• 中值滤波器
• 双边滤波器
• 非等向性扩散
• 非局部平均
• 三维块匹配算法